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1、振动系统的组成,单自由度系统的振动方程,二阶常系数线性微分方程的解,第一讲：,引言,第一章：单自由度系统的振动,振动系统的组成,假定振动系统的振动幅值不会超过弹性元件的线性范围；,振动系统的组成,问题1：,线性无关是什么意思？,问题2：,特解是什么意思？,不含任意常数的确定的微分方程的解,二阶常系数线性微分方程的解（复习）,2.非齐次微分方程通解的结构,二阶常系数线性微分方程的解（复习）,3.齐次微分方程通解的求法特征根法,二阶常系数线性微分方程的解（复习）,4.非齐次微分方程特解的求法待定系数法,二阶常系数线性微分方程的解（复习）,上次课内容回顾,求下列非齐次方程的特解（上次课习题）,特解:
2、,特征方程:,是特征方程的单根,特解:,同一个实际系统，我们的研究目的不一样，得到的力学模型也可能不一样。,问题1,如果估算机床的整体振动或以设计隔振器为目的就可以将此系统简化为单自由度系统；,以研究机床工作时机床本身的弹性变形引起的振动，则不能将其简化为单自由度系统，一般要用有限单元法分析。,问题2,问题2,问题3,第二讲：,无阻尼单自由度系统的自由振动,正确理解固有频率的概念,会求单自由度无阻尼系统的固有频率,第一章：单自由度系统的振动,对固有频率的正确理解：,固有频率仅取决于系统的刚度和质量；,固有频率与初始条件和外力等外界因素无关，是系统的固有特性； 它与系统是否振动着以及如何进行振动
3、的方式都毫无关系,固有频率,无阻尼单自由度系统的自由振动,振幅：,初相位：,自由振动：,初始条件是外界能量注入的一种方式，有初始位移即注入了弹性势能， 有初始速度即注入了动能。,无阻尼的质量弹簧系统受到初始扰动后，其自由振动是以 为振动 频率的简谐振动，并且永无休止；,在简谐运动三要素中，哪些参数是系统的固有参数？哪些参数是依赖于外 部条件的参数？,无阻尼单自由度系统的自由振动,(2) 简谐振动的位移、速度和加速度之间的关系,速度与位移的“相位差是90度”意味着什么？,加速度与位移的“相位差是180度”意味着什么？,位移最大时，速度为零；速度最大时，位移为零,加速度与位移的最大值出现在同一时刻
4、，但符号相反,无阻尼单自由度系统的自由振动,(3) 振动方向相同的简谐振动的合成,两个频率相同的简谐振动的合成（相加）结果仍为简谐振动， 且频率不变；,若两个分振动同相，则两分振动相互加强,若两个分振动反相，则两分振动相互减弱,o,无阻尼单自由度系统的自由振动,两个同频率不同的简谐振动的合成，如果两频率比为有理数（可通约）时，合成振动为周期振动；为无理数时，为非周期振动；,合成信号：,无阻尼单自由度系统的自由振动,可通约的两个近频简谐振动合成后会产生周期性的拍振。,无阻尼单自由度系统的自由振动,拍：合振幅随时间做周期型变化，振动时而加强、时而减弱.,一个拍,无阻尼单自由度系统的自由振动,判断对
5、错：,一个振动系统当未受到外力的持续激励时，不会发生振动;,2.单自由度线性无阻尼系统的自由振动频率由系统的参数确定，与 初始条件无关;,3.线性谐振子的振动周期与其振幅有关，振幅越大，则周期越长;,4.自由振动是初始激励引起的振动，因此，对于一个单自由度线 性系统，初始条件不同，自由振动的振幅、相位、频率均不同；,5.单自由度无阻尼系统的自由振动频率为其固有频率。,无阻尼单自由度系统的自由振动,能量方法：,简谐运动：,无阻尼单自由度系统的自由振动,等效质量和等效刚度法：,无阻尼单自由度系统的自由振动,静变形法：,无阻尼单自由度系统的自由振动,(a),无阻尼单自由度系统的自由振动,(b),无阻
6、尼单自由度系统的自由振动,(c),为什么不考虑 重力了？,无阻尼单自由度系统的自由振动,第三讲：,有阻尼单自由度系统的自由振动,第一章：单自由度系统的振动,(1) 过阻尼情况,特征方程有一对互异实根，故通解为：,有阻尼单自由度系统的自由振动,图 质量块对初始位移的过阻尼响应,结论：过阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。,有阻尼单自由度系统的自由振动,(2) 临界阻尼情况,特征方程有一对相等实根，故通解：,有阻尼单自由度系统的自由振动,图 质量块对初始条件的临界阻尼响应,结论：临界阻尼系统的自由运动为衰减非振荡运动。,有阻尼单自由度系统的自由振动,(3)欠阻尼情况,或：,有阻尼单自由度系统的自由
7、振动,振幅按指数规律 衰减；,自由振动具有等时性，即相邻两个正（负）峰值之间的时间间隔均为:,自由振动为非周期振动；,3. 欠阻尼振动特性：,有阻尼单自由度系统的自由振动,引入对数衰减率来描述振动衰减的快慢,相邻的两次振动振幅之比的自然对数叫作对数衰减率。,当系统阻尼比较小时，有：,有阻尼单自由度系统的自由振动,有阻尼单自由度系统的自由振动,图 阻尼比对自由振动的影响,【思路】：,【例】: 有一阻尼单自由度系统，测得质量m=5kg，刚度系数k=500N/m。 试 验测得在6个阻尼自然周期内振幅由0.02m衰减到0.012m，试求系统的阻尼比和阻尼器的阻尼系数。,根据 得到系统的阻尼比,对数衰减
8、率,根据 得到阻尼器的阻尼系数,有阻尼单自由度系统的自由振动,【解】：,有阻尼单自由度系统的自由振动,第五讲：,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,从数学的角度理解共振现象,会求单自由度有阻尼系统的受迫振动响应,会根据幅频特性曲线计算系统的阻尼比,掌握单自由度有阻尼系统的受迫振动的特征,第一章：单自由度系统的振动,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,受迫振动:,受迫振动方程：,系统在持续的外界控制的激励的作用下所发生的振动。,自激振动方程（颤振）：,受迫振动方程：,齐次方程通解：,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,理解共振现象的数学本质,1.如果,非齐次方程通解：,特解：
9、,待定常数：,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,2.如果,特解：,特解的形式：,待定常数：,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,【思考】：实际系统在共振时，其振幅会是无限大么？,1.实际系统都存在阻尼，阻尼能够使系统在共振时维持有限的振幅。,2.当振幅增大到一定程度后，支配系统运动的微分方程已经不再是 线性微分方程了，而是非线性运动微分方程，所以此时根据线性 运动方程得到的结果已经不能反映实际情况了。,简谐激励下无阻尼系统的受迫振动,图 位移幅频特性,频率比对位移响应幅值的影响：,低频段：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,高频段：,解释：激振力的方向改变过快，振动物体由于惯性来不及发生相应的变化，结
10、果是近似地停着不动。,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移幅频特性,图 位移幅频特性,位移共振：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,阻尼比对位移响应幅值的影响：,阻尼在共振区, 对减小振幅有显著作用；在远离共振区，阻尼对减小振幅的作用不大,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移幅频特性,图 位移相频特性,低频段：,说明响应与激励之间几乎是同相的。,相位差随频率比的变化：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,高频段：,说明响应与激励之间是反相的。,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移相频特性,位移共振：,说明响应与激励之间相差90度。,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,图 位移相频特性,3 测
11、量单自由度系统阻尼比的方法,(1).自由振动衰减法,量得相隔 周的两个振幅 ，,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,(2) 半功率法,阻尼比：,简谐激励下有阻尼系统的受迫振动,第六讲：,用复数解法求解稳态振动,基础简谐激励下的受迫振动,理解用复数解法的好处,振动的隔离,第一章：单自由度系统的振动,当用复数的虚部表示周期扰力时, 运算过程中用复数形式, 得到复数形式的解,然后对复数解取虚部, 就得到了实数解.,用复数解法求解稳态振动,当用复数的实部表示周期扰力时,得到的复数解应该取实部.,用复数解法求解稳态振动,【例】：旋转机械的总质量为M，转子质量为m，偏心距为e，转子角速度为 ，其他参数如图所示
12、。求非旋转部分的稳态振动(用复数法求解)。,运动方程：,【解】 ：,用复数解法求解稳态振动,稳态振动：,用复数解法求解稳态振动,【课堂练习】：用复数法求解图示系统的稳态振动,并与教材20页(1.5.10)式比较。,返回,用复数解法求解稳态振动,基础简谐激励下的受迫振动,我们想用复数激振力的虚部表示方程右端的实数激振力，为此,基础简谐激励下的受迫振动,绝对运动传递率,基础简谐激励下的受迫振动,绝对运动传递率的频率特性：,低频段,质量块的绝对运动近似 等于基础的运动（动画）,说明基础运动经弹簧和阻尼器传递到质量块后放大了（动画）,基础简谐激励下的受迫振动,注意到：,高频段：,说明基础运动被弹簧和阻
13、尼器隔离了。,返回,基础简谐激励下的受迫振动,一个疑问,隔振: 在设备和基础之间加入弹性支撑来减小相互之间所传递的振动量。,图 锻锤的弹性支撑,振动的隔离,第一类隔振（隔力）：通过弹性支撑隔离振源传到基础的力；,振动的隔离,第二类隔振（隔幅）：通过弹性支撑减小基础传到设备的振动幅值；,图 隔幅示意图,振动的隔离,【生活中不自觉地运用隔振原理的例子1】：,振动的隔离,【生活中不自觉地运用隔振原理的例子2】：,振动的隔离,【例】：一台电机质量为31kg， 转速n=2970r/min， 在电机与基础之间加有弹性衬垫，阻尼不计。要使传到基础上的力减为不平衡力的1/10， 问弹性衬垫的刚度系数为多少？,
14、振动的隔离,【例】：某直升机在旋翼额定转速360rpm时机身强烈振动，为使直升机上某电子设备的隔振效果达到 , 试求隔振器弹簧在设备自重下的静变形.,振动的隔离,第八讲：,周期激励下的振动分析,任意激励下的振动分析,理解周期激励下受迫振动的求解思路,第一章：单自由度系统的振动,当外激励不是简谐激励，而是一般的周期激励，受迫振动如何求？,周期激励下的振动分析,【思路】：,叠加原理,周期激励,周期激励下的振动分析,函数：,且,函数的单位:为自变量的倒数，如自变量是时间，则单位是1s。,任意激励下的振动分析,脉冲力的表示：,作用在 时刻冲量为I 的脉冲力,作用在 时刻单位脉冲力,任意一个量与 函数相
15、乘后得到的是相应于该量的分布量,任意激励下的振动分析,任意激励下的振动分析,在 时刻作用的单位脉冲(冲量为1)引起的t 时刻的响应为,已知单位脉冲响应，如何求解系统在任意激励下的响应？,则在 时刻作用的冲量为 引起的t 时刻的响应为,任意激励下的振动分析,非零初始条件下，系统的响应：,应用初始条件： ，得,频响函数与传递函数,（一）频响函数,频响函数与传递函数,频响函数与传递函数,（二）传递函数,（二）频响函数与脉冲响应函数之间的关系,频响函数与脉冲响应函数之间的关系,系统,激励：,响应：,课堂练习,【题1】某路面沿长度方向可近似为正弦波，波长为l, 波峰高为h. 一汽车质量为m, 减振板簧总刚度为k, 在该路面上以速度v 行使.不计阻尼, 求汽车铅垂振动的稳态响应和临界行使速度.,【题3】单自由度无阻尼系统受图示激励，求系统在初始条件 下的响应。,强迫函数：,课堂练习,利用Duhamel积分得到系统的响应：,当 时，系统的响应为自由响应：,当 时，系统的响应为：,当 时，系统的响应为：,课堂练习,
