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1、1,第二节,一、,偏 导 数,偏导数概念,及其计算,二 、,高阶偏导数,在 x =x0 的导数,定义1.,在点,存在,的偏导数，,的某邻域内,则称,极限,设函数,记为,在点,对,（相当于一元函数 f(x,y0),在 x =x0 的导数。）,此极限,为函数,（相当于一元函数 f(x,y0),同样可定义对 y 的偏导数,若函数 z = f ( x , y ),则该偏导数,也简称为,偏导数 ,记为,对 y,（相当于一元函数 f(x0,y),在域 D 内,在 y =y0 的导数。）,称为偏导函数,每一点 ( x , y )处,对 x,的偏导数存在 ,例如,偏导数的概念,偏导数定义为,二元函数,相当于,
2、求偏导数,就用一元函数,对变量x的偏导数,是固定y，,三元函数,在点 (x , y , z) 处,不需要新公式,只对x求导,一元函数的导数，,的求导公式就够了。,可以推广到,二元以上的函数 .,对 x 的,u = f (x , y , z),例1 .求,解:,在点(1 , 2) 处,的偏导数.,或,例2.设,证:,求证,例3. 求,的偏导数 .,解:,例4.,求证:,证:,(R 为常数),已知理想气体,的状态方程,二元函数偏导数的几何意义:,是曲线,在点 M0 处的切线,对 x 轴的斜率.,在点M0 处的切线,是曲线,对 y 轴的斜率.,函数在某点,例如,注意：,但在该点,在点(0 , 0)不
3、连续!,各偏导数,都存在,不一定连续.,在点(0 , 0) 极限,不存在,同样,证明,56页3：,在点(0 , 0)不连续!,在点(0 , 0) 极限,不存在,同样,在点(0 , 0)不连续!,但存在偏导数!,证,二、高阶偏导数,设 z = f (x , y),若,则称它们为,的二阶偏导数 .,按求导顺序不同,有下列四个,存在连续,仍存在偏导数，,z = f ( x , y ),二阶偏导数:,的偏导数,在域 D 内,这两个偏导数,类似可以定义,例如,z = f (x , y),偏导数为,再关于 y 的一阶,z = f (x , y),关于 x 的,三阶偏导数为,关于 x 的,n 1 阶偏导数
4、,更高阶,的偏导数.,则,定理.,说明:,在其定义区域内,故求初等函数,的二阶混合偏导数,因为初等函数,而初等函数,(证明略),还是初等函数 ,可以选择方便,若,和,都连续，,的求导顺序.,的偏导数,连续 ,57页11:,是否,存在,一个函数,使,答：,不存在,因为：,所以,不存在,解 :,55页例8.,设函数,求,函数,的二阶偏导数,解 :,注意:,但这一结论,的二阶偏导数,例5. 求函数,并不一定成立.,此处,例如,二 者 不 等,例6. 证明函数,满足,证：,同理,方程,内容小结,1. 偏导数的概念及有关结论,定义;,函数在一点偏导数存在,函数在此点连续,混合偏导数连续,与求导顺序无关,2. 偏导数的计算方法,求一点处偏导数的方法,先代后求,先求后代,利用定义,求高阶偏导数的方法,逐次求导法,(与求导顺序无关时,应选择方便的求导顺序),记号;,几何意义,备用题,解,即 xy0 时,1.设,求,2,解,求函数,的一、二阶偏导数：,作业,56页习题82,3,4(单数),5,7,8,13,14(1),
