第三章理论分布和抽样分布课件

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1、第三章 理论分布和抽样分布,第一节：概率及其计算 概率论：研究随机现象规律性的科学。 统计学：基于实际观测结果，利用概率论得出的规律，解释偶然性中所寄寓的必然性。,两者都是研究随机现象，概率论是统计学的基础，统计学是概率论得出规律在各领域中的实际应用。,一、事件与概率 事件是指某一事物的每一个现象，或某项试验的每一结果。（试验中所发生的现象）。 分类： 、必然事件：在一定条件组下，必然要发生的事件。 例：在标准大气压下，水加热到100这一组条件实现， 则水沸腾是必然事件。,、不可能事件：在一定条件组下，一定不能发生的事件。 例：在以上条件实现，水结冰这一事件，就是不可能事件。 、随机事件：在一

2、定条件组实现下，可能发生也可能不发生的事件。 例：一粒种子播种后发芽与否。 红花豌豆与白花豌豆杂交，2是红花。,概率的统计定义： 假定在相似条件下，重复进行同一类试验，事件发生的次数a 与总试验次数n的比数称为频率a/n，在试验总次数n逐渐增大时， 事件的频率愈来愈稳定地接近定值p，于是定义事件的概率为p，并记为 P(A)=p,一个总体的概率值在理论上是存在的，但在一般情况下，无法得到这个数值，只有通过样本的频率来推断总体概率。因此便以n在充分大时事件的频率作为该事件概率p的近似值，即 (A)=p(a/n),概率的表示： 小数 分数 0p(A)1 P(A)=1 时为必然事件 P(A)=0 时为

3、不可能事件,二、事件间的关系 基本事件:就是不可能再分的事件。 复合事件:由若干个基本事件组合而成的事件。,以“事件”一词代表随机事件，并以字母A, B, C. 等表示，以U表示必然事件，以V代表不可能事件。 1.事件A与事件B至少有一件发生而构成的新事件称为事件A与事件B的和事件。 记作：A+B读作“或A发生，或B发生”,和事件可以推广到个事件：A+B+C+.+N表示N个事件至少有一个发生。,2.两个事件A与B同时发生而构成的新事件称为事件A与事件B的积事件。 记作： A.B，读作“AB同时发生”,积事件可以推广到多个事件的情形： A.B.C.N表示N个事件同时发生。,3.两个事件A与B如果

4、不能同时发生，即A.B=V，那么称A和B是互斥事件。 例：任一玉米株高2.5m以上(A) 任一玉米株高2.0-2.5m(B) A.B:任一玉米株高既高于2.5m又在2.0-2.5m之间。 抛硬币： A：正面朝上B:反面朝上,4.如果事件A与事件必发生其一，但又不可能同时发生，即：A+B=u，A.B=V， 那么B是A的对立事件，可用表示。,5.如果事件A1、A2.An两两互斥，且每次试验必发生其一，则称A1、A2.An为完全事件系。 例：袋中有红、黄、黑、白四种颜色的球，每次取一个，“取到红球”、“取到黄球”、“取到黑球”、“取到白球”构成完全事件系。,、如果事件的发生与否不影响事件的发生，则称

5、其相互独立。 例：A:第一粒种子发芽 B:第二粒种子发芽,三、计算概率的法则 法则一: 对立事件的概率： 若事件A的概率为P( A)，那么其对立事件的概率为 P()=1-P(A) 例：小麦播种后发芽的概率为0.9，那么，不发芽的概率为(1-0.9)=0.1,法则二： 互斥事件概率的加法： 若事件A与事件B是互斥的，概率各为P(A)和P(B)，那么“A+B ”事件的概率为 P(A+B)=P(A)+P(B),法则三：独立事件概率的乘法： 若确定事件A的概率时不受到事件B的影响，反之亦然，那么，这两个事件是互相独立，称独立事件。对于这类事件，同时出现这一新事件的概率必为每个事件概率的积。 P(A.B

6、)=p(A).P(B),法则四：完全事件系的概率 若A1,A2.An是完全事件系，则这n个事件的概率之和为1，即 P(A1+A2+A3+.+An)=P(A1)+P(A2)+.+P(An)=1 如果n个事件出现的概率是相等的，那么 P(Ai)=1/n,第二节总体分布 一、二项分布(binomial distribution) （一）二项分布的概率函数 二项总体：有非此即彼事件组成的总体。 二项分布：以容量n从二项总体中抽样,共有n+1种可能的结果,每种结果都有一个固定的概率,这种变量取值及其概率构成的分布称为二项分布.,种子发芽试验： 一粒种子：发芽概率p、不发芽概率q 概率相加得(p+q) 两

7、粒种子： 甲乙均发芽：概率为p2 甲发乙不发：概率为p(1-p)pq 乙发甲不发：qp 甲乙均不发：q2 概率相加得p2+pq+qp+q2=(p+q)2,依此类推，独立地对n粒种子进行实验，一种结果出现x次的概率是： 称为二项分布律或二项概率函数，是(p+q)n展开后含有p(x)的一项这一分布律也称为贝努里分布,其中，x=0,1,2,n, 为某事件出现次数。 n为样本含量,即事件发生总数.,二项分布是说明结果只有两种情况的n次独立实验中发生某种结果为x次的概率分布。,因为（p+q），所以,二项分布的累积函数： 二项分布中某结果最多发生k次的概率为发生0次、1次、.、直至k次的概率之和：,(二)

8、二项分布的应用条件: (1) 每次实验只有两类对立的结果; (2) n次事件相互独立； (3) 每次实验某类结果的发生的概率是一个常数。,（三）二项分布的参数 二项分布总体的平均数和标准差为：,二项分布常表示为：B(n,p) 即：二项分布是由n和p两个参数据定的。,(四)二项分布的形状 二项分布的形状有如下特征： (1)二项分布图形的形状取决于P 和n 的大小； (2) 当P=0.5时，无论n的大小，均为对称分布； (3)当p0.5 ,n较小时为偏态分布,n较大时逼近正态分布。,一般来说，当n大于，而p或q又不过小（例如不接近于），且np及nq不小于时，可将其看作正态分布,可用正态公式求其概率

9、。,（五）二项分布的应用实例 、一批种子的发芽率为0.8，现每穴播粒，问每穴出三棵苗的概率？平均每穴出苗几棵？ 本例中，每穴出苗数为随机变量X，它服从B(5,0.8)，故：,若计算每穴出苗数低于4棵的概率，则计算累积概率： P(X3)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) 平均每穴出苗数：=np=50.8=4,、两个纯合亲本杂交(RRrr),F1自交，F2的基因型分离比。 F2中，R基因出现的概率p=0.5，r基因出现的概率q=0.5,一对因子：,两对因子：YYRRyyrr F2中显:显:显:显:显,3、两对基因分离： bbRRBBrr F1 BbRr F2 9B-R-:3B

10、-rr:3bbR-:1bbrr 问：样本容量多大时，才能以99的概率至少得到一个bbrr个体？,解：bbrr的概率q=1/16,非bbrr出现概率p=15/16。得到bbrr的概率99%,则非bbrr为，所以： pn=(15/16)n=0.01 n(lg15-lg16)=lg0.01 n=71.4 因此：要以的可能获得一个bbrr个体，样本容量只少为。,二、Poisson分布 1. Poisson分布的概念: 二项分布n很大而P很小时的特殊形式。其概率函数 x=0,1,2.n，其中e为自然对数的底，为总体均数，x为事件发生的次数。,主要描述大量实验中随机稀疏现象，如：单位面积内的昆虫数、病斑数

11、、植物种类、细胞计数、田间杂草分布等。,2. Poisson分布的应用条件: (1) 两类结果要相互对立； (2) n次试验相互独立； (3) n应很大, P应很小。,3. Poisson分布的参数 方差与平均数相等，只有一个参数。,4. Poisson分布的性质: (1) 均数与方差相等； (2) 均数较小时呈偏态,20时近似正态； (3) n很大, p很小，np=为常数时二项分布趋近于Poisson分布； (4) n个独立的Poisson分布相加仍符合Poisson分布,5、形状 由决定：很小时分布很偏，增大后逐渐对称，趋近于正态分布,三、正态分布（normal distribution）

12、 （一）正态分布的密度函数和分布函数 是连续性变数的一种理论分布。 许多生物学产生的数据都服从正态分布。 正态分布是生物统计学的重要基础,对于平均数为，标准差为的正态分布，其概率密度函数为： -x ,其中： 平均数，是曲线最高值的横坐标，曲线以其为对称； 标准差，表示曲线展开程度，越大，曲线展开度越大，数据越分散；越小，曲线展开度越小，数据越集中；有了和，曲线形状就可以确定下来。,，标准差为的正态分布称为标准正态分布(standard normal distribution)。以N(，2)表示平均数为，标准差为的正态分布；以N(，)表示标准正态分布。,累积分布函数：,（二）正态分布曲线的特性

13、、以为原点左右对称； 、x=处f(x)具有最大值，且算术平均数、中数、众数合于这一点； 、是一个曲线簇，由和确定：确定在x轴上的位置，确定其变异度；,以平均数和标准差不同的正态分布系列曲线,、在x=1有拐点； 、x取值范围是,，但多数集中在附近，离其越远，次数越少；且在 x- 相等处具有相等次数。 、曲线的总面积等于。曲线下任何定值之间的面积等于这两个定值间面积占总面积的成数，或者说变量落入这个区间内的概率。,几个常用区间与其相应的面积或概率 区间面积或概率 0.6827 2 0.9545 3 0.9973 1.960 0.9500 2.576 0.9900,正态分布,（三）标准正态分布 将x

14、离其平均数的差数以为单位进行转换，于是: u为正态离差。可将一般方程转为标准正态分布方程。,概率密度函数： -u,(四)正态分布区间概率的计算方法 随机变量落在某区间(a,b)内的概率，可以从标准正态分布累积分布函数表中查出。对于一般的正态分布，先将其化为标准正态分布再查表 .,例：u=-0.82, （0.82）0.2061 u=1.15 （u）=0.8749 例：随机变量U服从N (0,1)，求其落在0,1.21间的概率： P(0U1.21)= (1.21)(0)=0.88690.5000=0.3869 落在-1.96和1.96之间的概率： P(|U|u)=1-2(-u)=1-2(-1.96

15、) 1-0.0500=0.9500,正态分布,例：变量X服从N (156.2,4.822),求：(1)X164; (3)152X162的概率,(1) (161-156.2)/4.82=1 P(X164)=1-P(X164)= P(X-164) =(-u)=(-1.62)=0.0526,(3) u1=(152-156.2)/4.82= -0.87 u2=(162-156.2)/4.82=1.2 P(152P162)= (u2)-(u1) =(1.2)-(-0.87) =0.8849-0.1921=0.6928,(五)正态分布的单侧分位数/临界值 上面介绍了正态分布区间概率的计算方法。即对于给定的u，通过正态分布累积函数表查Uu的曲线下的面积。反过来，若要求曲线右侧尾区一定面积()下，所对应的u值u，则可以利用正态离差u值表查出。,该表有单、双尾之分:对于单尾，给出了满足P(Uu)= 时的u值。u称为的上侧分位数。 对于左侧尾区，满足：P(Uu/2)= 时的u/2称为的双侧分位数。,对于单尾表（上侧分位）： 对于双尾表：,第三节 抽样分布(sampling distribution) 可从两个方向研究总体与样本的关系：一是总体到样本，即由已知的总体研究样本的分布规律；二是从样本到总体的方向，即由样本推断未知的总体。抽样分布是研究第一个方向的问题,是统计推断的基础。