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1、第六节数列的应用题,基础梳理,1. 解答数列应用题的基本步骤 (1)审题仔细阅读材料，认真理解题意； (2)建模将已知条件翻译成数学(数列)语言，将实际问 题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么； (3)求解求出该问题的数学解； (4)还原将所求结果还原到原实际问题中,2. 数列应用题常见模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定值，则 该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差其一般 形式是：an1and(常数),(3)混合模型：在一个问题中同时涉及等比数列和等差数 列的模型 (4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定的百分 数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体
2、量增加(或减 少)，称该模型为生长模型，如分期付款问题，树木的生 长与砍伐问题等 (5)递推模型：如果容易推导该数列任意一项an与它的前 一项an1(或前n项)间的递推关系式，那么我们可以用递 推数列的知识求解问题,基础达标,2. 定义“等积数列”：如果一个数列从第二项起，每一项 与它前一项的积都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等积数列，这个常数叫做等积数列的“公积”已知数列 an是等积数列，且a12，公积为6，那么a2 010_.,解析：由数列an是“等积数列”，且a12，公积为6，得： a23，a32，a2n12，a2n3，所以a2 0103.,3. 把49个数排成7行7列的数表，若表
3、中每行的7个数自左向 右依次都成等差数列，每列的7个数自上而下也都成等差数 列，且正中间的数a441，则表中所有数的和为_,解析：设排在第i行第j列的数为aij，则由等差数列的性质 得a11a12a177a14，a21a22a277a24， a71a72a777a74，所以所有数字和为7(a14a24 a74)77a4449149.,4. 某屋顶的一个斜面成等腰梯形，最上面一行铺瓦片21片， 下一行总是比上一行多铺2片瓦片，已知斜面上共铺了19行瓦 片，试问： (1)最下面一行铺了多少片瓦片？ (2)从上往下数，哪一行铺了39片瓦片？,解析：(1)根据题意，瓦片数组成等差数列an，且a121，
4、 公差d2，则由等差数列的通项公式得a19a1(191)d 2118257.所以，斜面最下面一行的瓦片数为57片,(2)因为ana1(n1)d212(n1)2n19，所 以392n19，得n10.因此，第10行铺了39片瓦片,5. (教材改编题)某小区现有住房的面积为a平方米，在改造过程中政府决定每年拆除b平方米旧住房，同时按当年住房面积的10%建设新住房，则n年后该小区的住房面积为_.,方法二(迭代法)：an1.1an1b1.1(1.1an2b) b1.12an2b(11.1)1.13an3b(11.11.12) 1.1nab(11.11.121.1n1)1.1na10(1.1n 1)b.,
5、经典例题,题型一建立等差或等比数列模型解应用题,【例1】假设某市2008年新建住房400万平方米，其中 有250万平方米是中低价房，预计在今后的若干年内， 该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%，另外，每 年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平 方米，那么到哪一年底， (1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计 的第一年)将首次不少于4 750万平方米？ (2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的 比例首次大于85%？(参考数据： 1.0841.36,1.0851.47,1.0861.59),分析(1)转化为数列的有关问题； (2)注意求和,解：(1)设中低
6、价房面积形成数列an，由题意可知an是等 差数列，其中a1250，d50，则Sn250n 50 25n2225n，令25n2225n4750，即n29n1900，而n 是正整数，n10，到2017年底，该市历年所建中低价房 的累计面积将首次不少于4 750万平方米 (2)设新建住房面积形成数列bn，由题意可知bn是等比数 列，其中b1400，q1.08，则bn400(1.08)n1.由题意可 知an0.85bn，有250(n1)50400(1.08)n10.85 当n5时，a50.85b5，当n6时，a60.85b6， 满足上述不等式的最小正整数n为6. 到2013年底，当年建造的中低价房的面
7、积占该年建造住房 面积的比例首次大于85%.,题型二数列与函数的综合应用,【例2】已知数列an的前n项和Sn，且(a1)Sn a(an1)(a0)(nN*) (1)求证数列an是等比数列，并求an； (2)已知集合Ax|x2a(a1)x，问是否存在实数 a，使得对于任意的nN*，都有SnA？若存在，求出 a的取值范围；若不存在，说明理由,a为公比的等比数列，anan.,变式21,已知函数f(x)x2axb(a，bR)的图象经过坐标原 点，且f(1)1，数列an的前n项和Snf(n)(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足anlog3nlog3bn，求数列bn的前n 项和,
8、解析：(1)f(x)的图象过原点，b0. f(1)1，21a1，即a1， f(x)x2x，Snn2n， 当n1时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n2， 当n1时，a10满足上式， an2n2.,变式21,已知函数f(x)x2axb(a，bR)的图象经过坐标原 点，且f(1)1，数列an的前n项和Sn f(n)(nN*) (1)求数列an的通项公式； (2)若数列bn满足anlog3nlog3bn，求数列bn的 前n项和,解析：(1)f(x)的图象过原点，b0. f(1)1，21a1，即a1， f(x)x2x，Snn2n， 当n1时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n2， 当n
9、1时，a10满足上式， an2n2.,题型三等差数列和等比数列的综合应用,分析由已知条件运用Sn与an之间的关系式：an,求出an与an1之间的关系，以及 与 之间的关系， 再进行判定,变式31,bn1an2an11，,bn是以 为首项， 为公比的等比数列,链接高考,an,(2013四川)已知数列an满足a10，a22，且对任意m、 nN*，都有a2m1a2n12amn12(mn)2. (1)求a3，a5； (2)设bna2n1a2n1(nN*)，证明：bn是等差数列； (3)设cn(an1an)qn1(q0，nN*)，求数列cn的前 n项和Sn.,知识准备：1. 会用等差数列的定义证明一个数
10、列为等差数 列，并能根据通项公式写出该等差数列的通项公式； 2. 能用推导等比数列求和公式的思想方法(错位相减法)求 数列cn的前n项和； 3. 注意对q分类讨论,(1)由题意，m2，n1，可得a32a2a126， 再令m3，n1，可得a52a3a1820； (2)当nN*时，令mn2由已知可得a2n3a2n1 2a2n18，于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1) 8，即bn1bn8，又b1a3a16. 所以bn是首项为6，公差为8的等差数列 (3)由(1)(2)解答可知bn是首项为6，公差为8的等 差数列则bn8n2，即a2n1a2n18n2，,另由已知(令m1)可得an,所以an1an,于是cn2nqn1. 当q1时，Sn2462nn(n1)； 当q1时，Sn2q04q16q22nqn1， 两边同乘以q，可得qSn2q14q26q32nqn， 上述两式相减得(1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn,
