《高等数学第6-1章函数的积分教学幻灯片》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学第6-1章函数的积分教学幻灯片（137页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第 6 章 函数的积分,本章研究,定积分：特定和式的极限，是一个数； 不定积分：知道导函数，求原函数；,目录：,1 定积分概念 2 定积分基本定理 3 不定积分 4 定积分的计算 5 广义积分 课时：16学时，第9、10、11周,教学要求：,理解原函数概念，理解不定积分和定积分的概念，了解不定积分和定积分的性质。 熟练掌握不定积分基本公式，熟练掌握不定积分与定积分的换元法和分部积分法，掌握较简单的有理函数的部分分式分解，掌握积分表的使用。 理解变上限积分函数的概念，掌握变上限积分函数的求导，了解变上限积分函数与原函数的关系，熟练掌握牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。 了解反常
2、积分的概念，知道 函数 (第五节第四目“反常积分的收敛原理” ，第五目“反常积分的柯西主值”可略去)。,考研要求：,1.理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念. 2.掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分法与分部积分法. 3.会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分. 4.理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿-莱布尼茨公式. 5.了解反常积分的概念，会计算反常积分.,1 定积分的概念和性质,1、定积分的概念,问题1 曲边梯形面积,曲边梯形,圆的面积的计算,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣., 刘徽九章
3、算书注,曲边梯形面积A的计算,(1) 分割,a=x0x1xi1xixn=b,分割a, b得:,xi1, xi (i=1, 2, ,n),且记xi=xixi 1,任取分点：,(2) 作近似,任取 ixi 1, xi,Ai f (i)xi (i=1, 2, , n),(3) 求和,作,(4) 取极限,1in,问题2 变速直线运动的路程,0,a,b,t,ti,ti1,已知质点的运动速度v=v(t). 求在时间段a, b内运动的路程s.,匀速运动： 距离速度时间,(1) 分割,任取分点:,a = t0 t1 ti1 t i tn=b,分割a, b得: ti1, ti (i=1, 2, n),且记：ti
4、 = ti ti1,(2) 作近似,任取 i ti1, ti ,(3) 求和,(4) 取极限,1in,i,作,特点？,1).定积分定义,定义1 设xi a, b,(i=0,1,2, ,n) 且满足 a=x0x1xi1xixn=b 则点集xi称为闭区间a, b的一个划分； 若记 xi=xixi 1，则 称为该划分的直径.,定义2 设 f (x)在a, b上有界，若对于a, b的任意划分和任意取的点 i (xi1ixi) ，极限,都存在，则称其为 f (x)在a, b上的定积分黎曼积分.,记：,此时亦称 f (x)在a, b上可积. 记为 f (x)R( a, b ).,shuim,问题：什么情况
5、下可积？,定理：(1)若f (x)C( a, b ), 则 f (x)R ( a, b )；,(2)若f (x)在a, b上单调有界，则 f (x)R( a, b )；,(3)若f (x)在a, b上有界且只有有限个间断点，则 f (x) R( a, b )；,(4)若f (x), g(x) R( a, b )，则 kf (x), f (x)+ g(x), f (x) g(x), | f (x) |R( a, b ). 其中k为常数.,例1. 计算积分,解. 由 f (x)=x2C( 0,1 )，故f (x)=x2R( 0,1 ). 于是其积分值与区间 0,1的划分和点 i 的取法无关，从而将
6、0,1 n等分，得分点 和,且取 i ，则有：,P181，例2,2）几何意义,面积的代数和,例2.,例3.,显然,规定,如此,下面的讨论假设所列出的积分均存在.,2、定积分的性质 /具有极限的性质,性质1.,证：,其中 , 为常数.,线性性,性质2. 若 a c b, 则,c,可加性,证：因为 f (x)R(a, b), 故取a, b的划分，使c成为分点:,则,令0得,性质3. 若xa, b有f (x)1, 则,性质4. 若xa, b有f (x)0，则,0,推论1. 若xa, b有f (x)g(x), 则,证：由于|f (x)| f (x) |f (x)|,对于性质4，进一步有：,不妨设x0(
7、a,b), 则由f (x)的连续性, U(x0,) (a,b) 使得xU(x0,)时有 | f (x) -y0 | y0/2, 从而有f (x)y0/2.,再由性质1,2,3,4和推论1,有：,当x0=a,b时, 考虑x0左右邻域类似可证. (1)得证.,(2) 显然; (3)反证之 ;,性质5. 设,证：由于 m f (x)M,则,故,估值定理,x,0,y,M,m,x,0,y,x,0,y,a,b,a,b,y=f (x),a,b,例4. 估计,解：容易求得 在 1, 1上最大值 1，,故有, 2,性质6 (定积分中值定理)若 f (x)C(a, b), 则 a, b使得,分析：可证,证：由性质
8、5有,或,m,M,其中,由闭区间连续函数的介值定理知 a, b，使得,y,a,y=f (x),0,b,x,f (),推广形式：P185，性质6,设 f (x)C(a, b),将 a, b n 等分：得xi1, xi, 且,(i=1, 2, , n),取,令n,称为 f (x) 在 a, b 上的平均值.,3、连续函数的平均值,此时：,由性质6，定积分中值定理中的 f ( ) 恰是函数 f ( x )在区间 a, b 上的平均值.,例5. 设气温 T 是时间 t 的连续函数 T= f (t), 则日平均气温为,例6. 已知自由下落物体的运动速度为v = gt, 则它在0秒到 T 秒时间内的平均速
9、度为,4、定积分的近似计算,矩形法 梯形法 抛物线法,作业：,P187，习题6-1，1（1），4，7（1） 思考：定积分的计算程序？,回顾：,积分定义：有界函数，特定和式极限； 可积条件：连续；单调/离散有界； 顺便： 作业问题； 考试问题； 函数图形； 数学家； 分享： 懂味； 带望远镜的摄像机（SONY DEV 3）；,关于题为选择的力量的演讲： 凌小宁结合20多年的从业经历，向湖大学生分享学习的方法和创新能力培养的点点滴滴，并告诉大家该选择怎样的大学生活。 谈微软的招人法则 谈赚到钱和学经验 谈团队意识 我把学习的境界由低到高分为五个层次。1.学会答案;2.学会方法;3.学会学习;4.学
10、会做事;5.学会做人。学习的第五层境界，学会做人，我认为是学习的最高境界，也最难。 除了诚信之外，学会做人的另一点是要学会与别人一起有效地工作，又叫团队精神。这是我们学生的一个大的弱点。大家多是独生子女，多年来读书升学个人奋斗，没得到很好的团队合作的学习环境。现在，大家上了大学，学习生活在集体里，有了团队环境，应该主动培养团队意识。 为什么微软亚洲研究院已出了三个微软全球副总裁，而微软其他研究院没有?为什么从那出来的人都混得好，是老总，副总，技术总监什么的?因为全世界都知道，这个研究院做得非常成功，是一个非常优秀的团体。因此，人们相信那里的人一定很棒。要有这样的理念，团队的成功是个人成功的前提
11、，团队失败了，个人也是失败，团队成功了，个人也是一份功劳。,今日主题：,求定积分的有效方法； 原函数与积分上限函数； 定积分的基本定理； P188-192；,1、原函数概念,一方面：v=v(t),故,另一方面：s=s(t),故,应有：,注意： s (t)=v(t).,变速直线运动的路程：求时间段a,b内质点运动的路程s.,2 微积分基本定理,定义1. 设区间 I R，若 F(x)使xI 有,F (x)= f (x),或 dF (x)= f (x)dx,则称F(x)为 f (x)在 I上的一个原函数(反导数).,例： sinx是cosx在 R 上的一个原函数；,ln| x |是,在(, 0)(0
12、, +)内的一个原函数；,原函数性质：,(1) 若F(x)是 f (x)的一个原函数，则对任何常数C，F(x)+C 也是 f (x)的原函数.,因为 ：F(x)+C=F (x) = f (x),因此， f (x)若有原函数，则它就有无穷多个原函数.,(2) f (x)的任意两个原函数之间仅相差一个常数.,设 F (x)和 (x)是 f (x)的任两个原函数，则,F (x)= f (x), (x )= f (x),于是 (x )F (x)= (x )F (x)=f (x) f (x)0,故 (x )F(x)=C0 (C0 为常数),因此：若F(x)是 f (x)的一个原函数，则,F(x)+C|C
13、R,为f (x) 的全体原函数.,2、微积分基本定理,定理1. 设f (x)R(a, b) ，F(x)是f (x)在a, b上的一个原函数，则：,Newton-Leibniz公式,证明. 因为F(x)是f (x)在a, b上的一个原函数， 故F(x)C(a, b) ，且在a, b上F (x)= f (x).,设a=x0x1xi1xixn=b 是a, b的任意一个划分,在每个小区间xi1, xi上运用Lagrange中值定理，得,F(xi) F(xi) =f (i )xi , i(xi1, xi), xi =xi xi1, i=1,2, ,n, 从而,记 则,设 f (x)R( a, b ),
14、取 x a, b , 有：,(a x b),称为积分上限函数. 记为：,3、积分上限函数,积分下限函数？,定理2. 若f (x)R(a, b)，则：,分析：需证x0a, b,即 0, 0, 使当 |xx0| 时，都有,| (x) (x0) | ,证：首先由 f (x)R(a, b)知M 0, 使xa, b 有| f (x) |M,从而 x0, xa, b有：, M | xx0 |,于是 0， 取,则当 |xx0| 时, f (x)C( a, b )., M | xx0 |,定理3. 若 f (x)C(a, b)，则,在a, b上可导，且：,(axb),分析：需证xa, b，,证明：xa, b，
15、取x，x+xa, b, = (x+x) (x),令x0, 得, (x)=f (x),例1.,一般地：,另外：,P191,P190，例1，例2；,例2.,=,例3. 求,解：F (x)=(x1)(x 2)2,令F (x)=0得驻点 x=1, x=2,对 x=1, 当 x0,故 x=1为 F(x)的极小值点,对 x=2, 当 10, 当 x2时 F (x)0,故 x=2不是 F(x)的极值点,于是 F(x)的极小值,定理1. 设f (x)C(a, b) ，F(x)是f (x)在a, b上的一个原函数，则：,证：由定理3之推论知,的一个原函数，于是：,也是 f (x),4、微积分基本定理的再证明,再令x=b. F(b) (b),移项便得：,为书写方便，记：,(axb),F(x) (x)=C,令x=a，得F(a) (a),=C,=0,故 C=F(a),=F(a) ,例3. 计算,解：,例4. 计算,解：,解：,因为 (cosx)=sinx, (sinx)=cosx,故,练习,作业：,P192，习题6-2，1（3），3（1） 预习：不定积分 思考： 如何求定积分? 原函数存在条件？ 如何求原函数? 如何利用定积分求极限？,回顾：,原函数 有，有无穷多个； 两个原函数之间相差一个常量； 积分上限函数 是连续函数；
