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1、2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,1,第二章,控制系统的数学模型,自动控制理论,普通高等教育“九五”部级重点教材,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,2,描述系统运动的数学模型的方法,自动控制理论,状态变量描述 状态方程是这种描述的最基本形式,建立系统数学模型的方法,实验法：人为施加某种测试信号，记录基本输出响应。 解析法：根据系统及元件各变量之间所遵循的基本物理定律，列写处每一个元件的输入-输出关系式。,输入输出描述 微分方程是这种描述的最基本形式。传递函数、方框图 等其它模型均由它而导出,数学模型：是描述系统输入、输出变量以及于内部其它变量之间关系的数学表达式,202
2、0/8/3,第二章 控制系统的数学模型,3,第一节 列写系统微分方程的一般方法,用解析法建立系统微分方程的一般步骤,自动控制理论,根据基本的物理定律，列写出系统中一个元件的输入与输出的微分方程式 确定系统的输入量与输出量，消去其余的中间变量，求得系统输出与输入的微分方程式,图2-1 -L-C电路,例2-1求Uc与Ur的微分方程式 解：由基尔霍夫定律得,消去中间变量 ，则有:,举例,一、电气网络系统,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,5,自动控制理论,例2-3. 求外力F(t)与质量块m位移(t)之间的微分方程,解 由牛顿第二定律列出方程,即,式中，为阻尼第数；为弹簧的弹性系数。k
3、y(t)弹性拉力,阻尼器阻力,二、机械位移系统,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,6,自动控制理论,例2-4. 试写出图2-4所示直流调速系统的微分方程式,图2-4 G-M 直流调速系统原理图,三、直流调速系统,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,7,图2-5 G-M 直流调速系统的框图,列写元件和系统方程式前,首先要明确谁是输入量和输出量，把与输出量有关的项写在方程式等号的左方，与输入量有，关系的项写在等号的右方，列写系统中各元件输入输出微分方程式，消去中间变量，求得系统的输出与输入的微分方程式,写微分方程式的一般步骤：,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,8
4、,自动控制理论,放大器,图2-6 直流他励发电机电路图,(2-4),假设驱动发电机的转速n0恒定不变，发电 机没有磁滞回线和剩磁，发电机的磁化曲线为一直线 ，即/iB =L。,直流他励发电机,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,9,自动控制理论,由电机学原理得：,图2-7 直流他励电动机电路图,把式（2-6）代入（2-5），则得,（2-5）,（2-6）,（2-7）,式中,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,10,自动控制理论,直流他励电动机 被控制量是电动机的转速n 。 控制量：发电机的电动势EG和负载转矩TL,由基尔霍夫定律和牛顿第二定律得,2020/8/3,第二章 控制
5、系统的数学模型,11,上式中消去中间变量 后得到,输入量是电动机的转速n，输出量是测速发电机的电压Ufn ，假设测速发电机的磁场恒定不变，则Ufn与n成线性关系即有,测速发电机,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,12,自动控制理论,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,13,自动控制理论,第二节 非线性数学模型的线性化,非线性数学模型线性化的假设,变量对于平衡工作点的偏离较小 非线性函数不仅连续，而且其多阶导数均存在,微偏法,在给定工作点邻域将此非线性函数展开成泰勒级数，并略去二阶及二阶以上的各项，用所得的线性化方程代替原有的非线性方程。,设一非线性元件的输入为x、输出为y
6、，它们间的 关系如图2-9所示，相应的数学表达式为,图 2-9 非线性特性的线性化,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,14,自动控制理论,在给定工作点A（x0,y0）附近，将上式展开为泰勒级数,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,15,自动控制理论,举例,上节在推导直流他励发电动机的微分方程式时，曾假设其磁化曲线为直线，实际上发电机的磁化曲线如图2-10所示。,设发电机原工作于磁化曲线的A点，若发电机的励磁电压增加U1，求其增量电动势EG的变化规律。,图2-10 发电机的磁化曲线,若励磁电压增量 ，则有,如果发电机在小信号励磁电压的作用下，工作点A的偏离就较小，这样 就可
7、通过点A作一切线CD，且以此切线CD近似代替原有的曲线EAF。 在平衡点A处，直流电机的方程为,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,16,自动控制理论,由式（2-17）减式（2-15），式（2-17）减式（2-15）后得,式（2-19）、（2-20）均为增量方程，它们描述了发电机在平衡点A处受到u1作用后的运动过程。对增量方程式而言，磁化曲线的坐标原点不是在O点，而是移到A点。因而发电机的初始条件仍为零。式中N为励磁绕组的匝数。,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,17,自动控制理论,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,18,自动控制理论,在实际应用中，常把增量符
8、号“”省去，这样上述两式显然和（2-5）（2-6）完全相同,小结,随着发电机平衡工作点的不同，其时间常数 和放大 倍数 是不同的。,由线性化引起的误差大小与非线性的程度有关,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,19,自动控制理论,第三节 传递函数,传递函数的定义,传递函数的定义：在零初始条件下，系统（或元件）输出量的拉氏变换与其输入量的拉氏变换之比，即为系统（或元件）的传递函数。,设线性定系统的微分方程式为,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,20,自动控制理论,在零初始条件下，对上式进行拉式变换得,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,21,（1） 传递函数是由系
9、统的微分方程经拉氏变换后求得，而拉氏变换是一种线性变换，因而这必然同微分方程一样能象征系统的固有特性，即成为描述系统运动的又一形式的数学模型。 （2）由于传递函数包含了微分方程式的所有系数，因而根据微分方程就能直接写出对应的传递函数，即把微分算子 用复变量s表示，把c(t) 和r(t)换为相应的象函数C(s)和R(s) ，则就把微分方程转换为相应的传递函数。反之亦然。,根据式(2-30),单位脉冲响应及应用,自动控制理论,小结：,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,22,如果已知系统的单位脉冲响应g(t),则利用卷积积分求解系统在任何输入r(t)作用下的输出响应,即,下面以一个R-C
10、电路(图2-11)为例,说明卷积积分的应用,该电路的微分方程为,自动控制理论,图2-11 R-C电路,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,23,自动控制理论,1、,由于,2、,3、,式中,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,24,传递函数的性质,自动控制理论,传递函数只取决于系统本身的结构和参数，与外施信号的大小和形式无关 传递函数只适用于线性定常系统 传递函数为复变量s的有理分式，它的分母多项式S的最高阶次n总是大于或等于其分子多项式s的最高阶次m，即nm 传递函数不能反映非零初始条件下系统的运动过程 一个传递函数是由相应的零、极点组成 一个传递函数只能表示一个输入与一个
11、输出的关系，它不能反映系统内部的特性,对于多输入多输出的系统，要用传递函数关系阵去描述它们间的关系，例如图2-12所示的系统,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,25,自动控制理论,图2-12 多输入多输出系统,由图2-12得,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,26,自动控制理论,典型环节的传递函数,特点：输出不失真、不延迟、成比例地复现输入信号的变化,比例环节,惯性环节,特点：输出量延缓地反映输入量的变化规律,微分方程,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,27,自动控制理论,积分环节,特点：环节的输出量与输入量对时间的积分成正比，即有,图2-13 积分环节模拟
12、电路图,例如图2-13所示的积分器，其传递函数为,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,28,微分环节,理想的微分环节的输出与输入信号对时间的微分成正比，即,图2-14 微分环节模拟电路图,1）实际的微分环节，如图2-14所示，它的 传递函数为：,自动控制理论,2）直流测速发电机。如图2-15所示，,图2-15直流测速发电机,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,29,振荡环节,特点：如输入为一阶跃信号，则环节的输出却是周期振荡形式,微分方程,自动控制理论,具有式（2-33）形式的传递函数在控制工程中经常会碰到，例如,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,30,自动控制
13、理论,1）R-L-C电路的传递函数,2）弹簧-质量-阻尼器系统的传递函数,3）直流他励电动机在变化时的传递函数,上述三个传递函数在化成式（2-33）所示的形式时，虽然它们的阻尼比和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满足01，则它们都是振荡环节。,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,31,自动控制理论,纯滞后环节,图2-16纯滞后 环节模拟电路图,则,如果,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,32,自动控制理论,第四节 系统框图及其等效变换,绘制系统方框图的一般步骤,1、 写出系统中每一个部件的运动方程式 2、 根据部件的运动方程式写出相应的传递函数，一个部件用一个方框表示
14、在框中填入相应的传递函数,3、根据信号的流向，将各方框单元依次连接起来，并把系统的输入量置于系统方框图的最左端，输出量置于最右端,例2-3 绘制图2-18所示电路的方框图,1）列方程,图2-18 R-C网络,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,33,自动控制理论,2）画出上述两式对应的方框图,3）将两方框图按信号的流向依次连接，求得2-19C的系统方框图,例2-4 绘制图2-2所示R-C网络方框图,1）列方程,图2-19 2-18所示电路系统框图,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,34,自动控制理论,2）画出上述四式对应的方框图，如图2-20a所示 3）根据信号的流向，将
15、各方框单元依次连接起来，就得到图2-20b所示的方框图,图2-20,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,35,自动控制理论,方框图的等效变换,1、串联连接,图2-23,通式：,2、并联连接,图-2-24,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,36,自动控制理论,由图2-24得,通式：,3、反馈连接,图2-25,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,37,自动控制理论,1）负反馈连接,2）正反馈连接,例如,4、引出点移动,1）引出点后移,图2-26,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,38,2）引出点前移,5、综合点移动,1）综合点后移,自动控制理论,2）综合
16、点前移,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,39,自动控制理论,例2-27，求图2-27所示系统的传递函数C(s)/R(s),解 将图中引出点A后移,然后从内回路到外回路逐步化简, 其过程为图2-28所示,图2-27,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,40,自动控制理论,图2-28,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,41,设系统如图2-30所示,图中R(s)参数输入, D(s)扰动,1、开环传递函数,系统反馈量B(s)与误差信号E(s)的比值称为开环传递函数。即,自动控制理论,图2-30,2、参改输入作用下的闭环传递函数,令D(s)=0，则图2-30变为图2-31,第五节 控制系统的传递函数,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,42,根据式（2-39）求得,自动控制理论,图2-31,系统的输出为,如果H(s)=1，则图2-31所示的系统为单位反馈系统，它的闭环传递函数为,2020/8/3,第二章 控制系统的数学模型,43,自动控制理论,3、扰动D(s)作用下的闭环传
