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1、第七讲 定积分应用,定积分的元素法 定积分在几何学上的应用,一、 定积分的元素法,一、元素法实施条件,二、元素法实施步骤,(1)所求量与一个变量x的变化区间a,b有关； (2)对区间a,b具有可加性； (3)部分量 的近似值可表示为 。,二、定积分在几何学上的应用,一、直角坐标情形,定积分几何应用之一,平 面 图 形 的 面 积,问题：,(i)取x为积分变量，则,(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx 的小窄条面积近似值，即面积元素,(iii)所求面积,(i)求交点,(ii)相应于0,1上任一小区间x,x+dx的小窄条面积的近似值，即面积元素,(iii)所求面积,解,例求由抛物线所围,图
2、形之面积。,(i)求交点,(ii)相应于-2,4上任一小区间y,y+dy的小窄条面积的近似值，即面积元素,(iii)所求面积,解,例求由抛物线与直线所围图形面积。,(i)取x为积分变量，则,(ii)面积元素,(iii)所求面积,比较方法1和方法2知：适当选择积分变量可以简化计算过程。,(i)两切线交点为,(ii)面积元素,(iii)所求面积,解,练习求由抛物线及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围图形面积。,则,点(0,-3)和(3,0)处的切线方程分别为,y=4x-3 y=-2(x-3),二、极坐标情形,(ii)面积元素,(iii)所求面积,设由曲线 与射线，,围成一图形,求该图形的面
3、积。,(i)取极角为积分变量，则,面积元素,所求面积,例求由阿基米得螺线上相应 于的一段弧与极轴所围图形面。,解,设曲线弧由参数方程给出，,求由这曲线弧所围图形的面积。,(i)取 t 为积分变量，则,(iii) 所求面积,(ii) 面积元素,三、 参数方程情形,椭圆参数方程为,面积元素,所求面积,例求由椭圆所围图形面。,解,S1,S2,答案,1.所求面积,2.所求面积,所求面积,体积,定积分几何应用之二,旋转体：由一平面图形绕该平面内一条直线旋转一周而成的立体，称为旋转体。,一、旋转体的体积,定直线旋转轴,旋转体体积的计算,(i)取x为积分变量，则,(ii)相应于a,b上任一小区间x.x+dx
4、的小旋转 体体积近似值，即体积元素,(iii)所求体积,旋转轴为x轴：,曲边梯形绕 x轴旋转一周而成的立体体积。,例求由连接坐标原点O及P(h,r)的直线及x=h,x轴所围三角形绕x轴所成旋转体之体积。,(i)取x为积分变量，则,(ii)相应于a,b上任一小区间x,x+dx的小旋转 体体积近似值，即体积元素,(iii)所求体积,解OP的方程为,旋转体体积的计算,(i)取y为积分变量，则,(ii)相应于c,d上任一小区间y,y+dy的小旋转 体体积近似值，即体积元素,(iii)所求体积,旋转轴为y轴：,曲边梯形绕 y轴旋转一周而成的立体体积。,dy,解:,（）取y为积分变量，则,（）相应于0,1
5、上任一小区间y, y+dy的体积元素,（）所求体积,例求由曲线 和 及x轴所围图形绕y轴旋转所成旋转体的体积。,解:,（）旋转轴为x轴,体积元素：,（）旋转轴为y轴,例求由曲线 和直线所围图形分别绕x轴和y轴旋转而成旋转体的体积。,所求体积:,体积元素：,所求体积：,如图，在距坐标原点为x处取一底边长为dx的小曲边梯形ABCD,易知它绕y轴旋转所得的旋转体体积近似值，即体积元素,例4证明：由平面图形 绕 y轴旋转而成的旋转体的体积为,于是,所求体积为：,（这是一个底面积为 ，高为的圆柱体的体积）,证明,解:,（）旋转轴为 x 轴,（）旋转轴为 y 轴,练习求由曲线 和直线 x=1 所围图形分别
6、绕 x 轴和 y 轴旋转而成旋转体的体积。,所求体积：,所求体积：,1,或,(1,1/e),(1,e),体积元素：,体积,定积分几何应用之二,二、平行截面面积已知的立体体积,若立体不是旋转体，但立体垂直于某定轴的各截面面积已知，该立体体积亦可用定积分计算。,. 过点x而垂直于x轴的平面截立体得截口面积为,则立体体积为,2. 过点y而垂直于y轴的平面截立体得截口面积为,则立体体积为,B(y),在所围立体上，作平行于坐标面 yoz 的截面KLMN，由于NM=ML，所以KLMN为正方形，其面积为,例5求 及 两圆柱面所围立体的体积。,所求体积:,解:,所求立体体积为,例6一平面经过半径为的圆柱体的底
7、圆中心，并与底面成交角（如图）。计算这平面截圆柱体所得立体的体积。,如图建立坐标系，则底圆的方程为,截面积为,立体中过点 x 且垂直于 x 轴直角的截面为直角三角形，直角边长分别 y 为及ytana，,解,一、平面曲线弧长的概念,定理：,定积分几何应用之三,平 面 曲 线 的 弧 长,定义：,光滑曲线弧是可求长的。,的极限存在，称此极限 为曲线弧的弧长；并称该曲 线弧是可求长的。,. 直角坐标情形,定积分,曲线弧由方程y=f(x) 给出，其中f(x)在a,b上 具有连续一阶导数，求该曲线(如图)的长度。,(i) 取x为积分变量,则,(iii)所求弧长,(ii)弧长元素（弧微分）,二、光滑曲线弧长的计算,设曲线弧由参数方程给出，,其中、 在 上具有连续导数，求这曲线,(i)取 t 为积分变量，则,(iii) 所求弧长,(ii) 弧长元素, 参数方程情形,的长度。,曲线弧由极坐标方程,给出，其中在上具有连续导数，,利用,所求弧长,极坐标情形,有,求该曲线弧长。,解,从而弧长元素,所求弧长,例1求由曲线 相应于 的一段弧（如图）的长度。,令,解,所求弧长,例计算星形线 的全长。,弧长元素,解,所求弧长,例计算心形线 的全长。,弧长元素,
