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1、第4章 根轨迹法,第4章 根轨迹法,主要内容 根轨迹的基本概念 根轨迹的绘制法则 用根轨迹法分析系统的暂态特性 小结,第4章 根轨迹法,学习重点 了解根轨迹的基本特性和相关概念； 了解根轨迹的类型划分，熟练掌握根轨迹的分类原则； 掌握根轨迹的绘制法则，并能够熟练地应用到根轨迹的绘制过程中； 学会应用主导极点、偶极子等概念近似分析系统的性能。,4.1 根轨迹法的基本概念,根轨迹 系统开环传递函数的每一个参数从零变化到无穷大时，闭环系统特征方程的根在 S 平面上的变化轨迹。,例4.1 二阶系统的根轨迹 闭环传递函数 特征方程 闭环极点,4.1 根轨迹法的基本概念,研究开环放大系数K与闭环特征根的关
2、系。当取不同K值时，算得闭环特征根如下：,4.1 根轨迹法的基本概念,4.1 根轨迹法的基本概念,K由0变化时，闭环特征根在S平面上移动的 轨迹如下图所示。这就是该系统的根轨迹。,根轨迹直观地表示了参数K变化时，闭环特征根的变化，并且还给出了参数K对闭环特征根在S平面上分布的影响。,根轨迹方程,控制系统结构图 开环传递函数,4.1 根轨迹法的基本概念,式中： 开环零点； 开环极点。 闭环系统特征方程式为 或可写作,4.1 根轨迹法的基本概念,这个方程式表达了开环传递函数与闭环特征方程式的关系 ，该方程的解即为闭环特征根，因此该式又称为根轨迹方程。 令s=+j代入可得,4.1 根轨迹法的基本概念
3、,上式是一个复数，可表示成幅值和辐角的形式，则根轨 迹方程又可分别表示成 幅值条件：,4.1 根轨迹法的基本概念,辐角条件：（充分必要条件）,4.1 根轨迹法的基本概念,式中： 开环有限零点到s点的矢量辐角； 开环极点到s点的矢量辐角； 满足幅值条件和辐角条件的s值，就是特征方程式的根，也就是闭环极点。,4.1 根轨迹法的基本概念,因为 在0范围内连续变化，总有一个值能满足幅值条件。所以，绘制根轨迹的依据是辐角条件。 利用幅值条件计算 值比较方便，它可以作为计算 值的依据。,绘制根轨迹的一般步骤 （1）出 =0 和 = 时的特征根 （2）根据绘制法则大致画出0 时的根轨迹草图 （3）利用辐角条
4、件，对根轨迹的某些重要部分精确绘制,4.2 根轨迹的绘制法则,4.2 根轨迹的绘制法则,4.2.1 绘制根轨迹的一般法则 1 起点（ = 0） = 0时，闭环系统的特征方程式等效为 上式即为开环系统的特征方程式。所以，当 = 0时，闭环极点也就是开环极点。,4.2 根轨迹的绘制法则,2. 终点（ =） 当 =时，闭环系统的特征方程式等效为 上式表明，当 =时，闭环极点也就是开环有限零点。 今设N(s)为m阶方程，故有m个开环有限零点决定了闭环极点的位置，尚有n-m个闭环极点，随着 =，它们都趋向无限远（无限零点）。,4.2 根轨迹的绘制法则,3. 根轨迹分支数和它的对称性 根轨迹分支数取决于闭
5、环系统的特征方程式中s的最高次项，即为max(n,m)条。 闭环系统的特征根只有实数根和共轭复根，故根轨迹都对称于实轴。,4.2 根轨迹的绘制法则,4 实轴上的根轨迹 根轨迹左侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角总为零；复平面上的所有零、极点是共轭的，它们到实轴上根轨迹的矢量辐角之和也总为零。根轨迹右侧的实数零、极点到根轨迹的矢量辐角均为180。 结论：在实轴上根轨迹分支存在的区间的右侧，开环零、极点数目的总和为奇数。,4.2 根轨迹的绘制法则,证明：设 为实轴上根轨迹右侧的开环有限零点数目， 为实轴上根轨迹右侧的开环极点数目， 由辐角条件 整理得 所以，实轴上存在根轨迹的条件应满足,4.2 根
6、轨迹的绘制法则,例如下图所示，对于根轨迹A， =1（ =1， =0）； 对根轨迹B， =3；对根轨迹C， =5。它们都 是奇数。,4.2 根轨迹的绘制法则,5分离点和会合点 两条或两条以上的根轨迹分支在 s 平面上相遇又立即分开的点称为分离点（或会合点）。 在下图上画出了两条根轨迹。我们把a点叫做分离点，b点叫做会合点。它们表示当时，特征方程式会出现重根。,4.2 根轨迹的绘制法则,分离点（会合点）的坐标 由下列方程所决定,整理得,4.2 根轨迹的绘制法则,说明： 用分离点方程式求解后，需将所求结果代入特征方程式中验算。只有当与之对应的 值为正值时，这些分离点才是实际的分离点或会合点。,如果实
7、轴上相邻开环极点之间存在根轨迹，则在此区间上必有分离点。 如果实轴上相邻开环零点之间存在根轨迹，则在此区间上必有会合点。,4.2 根轨迹的绘制法则,4.2 根轨迹的绘制法则,例4-2 已知开环传递函数为 式中， ，求分离点和会合点。,解 由已知：,4.2 根轨迹的绘制法则,代入分离点和会合点方程，有,由此得分离点和会合点分别为,4.2 根轨迹的绘制法则,该系统的根轨迹图如下图所示,4.2 根轨迹的绘制法则,6 根轨迹的渐近线 研究根轨迹是按什么走向趋向无穷远。 当 nm 时，则有（n-m) 条根轨迹分支终止于无限零点。这些趋向无穷远的根轨迹分支的渐近线由与实轴的夹角和交点来确定。,4.2 根轨
8、迹的绘制法则,无穷远处的特征根，到S平面上所有开环有限零点和极点的矢量辐角都相等，均为 ，即,独立的渐近线只有（n-m）条,（1）渐近线的倾角,代入辐角条件得,即渐近线的倾角为,4.2 根轨迹的绘制法则,当 时， ，即得,（2）渐近线的交点,由幅值条件,4.2 根轨迹的绘制法则,令上式中等式两边的项系数相等，即得渐近线的交点,由于 和 是实数或共轭复数，故 必为实数，因此渐近线交点总在实轴上。,4.2 根轨迹的绘制法则,例4-3 设开环传递函数为,试确定其根轨迹渐近线。,解 （1）计算渐近线倾角。 因为m=0, n=3, 所以可得渐近线倾角为,4.2 根轨迹的绘制法则,因为 n=3, m=0；
9、 所以渐近线交点为,（2）计算渐近线交点。,4.2 根轨迹的绘制法则,7 根轨迹的出射角和入射角 出射角 ：根轨迹离开S平面上开环极点处的切线与实轴的夹角。 入射角 ：根轨迹进入S平面上开环零点处的切线与实轴的夹角。,4.2 根轨迹的绘制法则,例4-4 已知开环传递函数为,试计算起点（-1+j1）的斜率。,把以上诸值代入辐角条件，即得起点（-1+j1）的出射角为,4.2 根轨迹的绘制法则,解 令 稍为增大，在（-1+j1）附近的特征根 应满足辐角条件，即,解得,4.2 根轨迹的绘制法则,同理可得入射角的计算公式为,通过这个例子，可以得到计算出射角的公式为,4.2 根轨迹的绘制法则,8根轨迹与虚
10、轴的交点 根轨迹与虚轴相交时，特征方程式的根 ，此时系统处于临界稳定状态，令此时的 。由此可计算对应的临界放大系数 值。 确定交点的方法： （1）把 代入特征方程式； （2）利用劳斯判据。,4.2 根轨迹的绘制法则,例4-5 设有开环传递函数为 试确定根轨迹与虚轴的交点，并计算临界放大系数。,假设 时根轨迹与虚轴相交，于是令上式中,解 方法（1） 根据给定的开环传递函数，可得特征方程式为,4.2 根轨迹的绘制法则,则得 亦即 解得： ， ，对应根轨迹的起点； ， ，对应根轨迹与虚轴相交。 交点处的（临界放大系数）为,4.2 根轨迹的绘制法则,方法（2） 用劳斯判据计算交点和临界放大系数,劳斯表
11、,特征方程,4.2 根轨迹的绘制法则,在第一列中，令 行等于零，则得临界放大系数 根轨迹与虚轴的交点可根据 行的辅助方程求得，即 令上式中 ，即得根轨迹与虚轴的交点为,4.2 根轨迹的绘制法则,9 根轨迹的走向 如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行 。 说明：把特征方程式改为 式中： 是一个常数，它是各特征根之和。这表明，随着 值改变，一些特征根增大时，另一些特征根必减小。,4.2 根轨迹的绘制法则,根轨迹绘制法则归纳如下： （1）起点（ ）。开环传递函数的极点即根轨迹的起点。 （2）终点（ ）。根轨迹的终点即开环传递函数的零点（包括 m 个有限零点和（n-m）个无限零
12、点）。 （3）根轨迹数目及对称性。根轨迹数目为 ，根轨迹对称于实轴。 （4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的零点、极点之和应是奇数。,4.2 根轨迹的绘制法则,（5）分离点与会合点。分离点与会合点满足方程,4.2 根轨迹的绘制法则,（9）根轨迹走向。 如果特征方程的阶次 ，则一些根轨迹右行时，另一些根轨迹必左行。,（8）根轨迹与虚轴交点。把 代入特征方程式 ，即可解出交点处的临界 值和交点坐标。,4.2 根轨迹的绘制法则,4.2.2 自动控制系统的根轨迹 1. 二阶系统 设二阶系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为,4.2 根轨迹的绘制法则,二阶系统的根轨迹图如右图所示。,如果要使得系统
13、的阻尼比为,则从原点作阻尼线0R, 交根轨迹于R（见右图）。,开环放大系数 应为,上式和第三章第三节用分析法所得的二阶工程最佳参数相同,4.2 根轨迹的绘制法则,2开环具有零点的二阶系统 二阶系统增加一个零点时，系统结构图如下图所示。 它的开环传递函数为,4.2 根轨迹的绘制法则,由下图知，复平面上的根轨迹是一个圆（证明详见教材）。这个圆与实轴的交点即为 分离点和会合点：,本例说明：正向通道内适当引进零点，将使根轨迹向左偏移，能改善系统动态品质。,时的根轨迹图,4.2 根轨迹的绘制法则,3. 三阶系统 二阶系统附加一个极点的系统的结构图如下图所示。它的开环传递函数为,在 时，分离点为 和 。因
14、为在 -1-4之间不可能有根轨迹，故分离点应为 。,4.2 根轨迹的绘制法则,当 时，根轨迹与虚轴交点为 对应的根轨迹放大系数为 考虑到 ，于是得临界开 环放大系数为 根轨迹绘于右图。,本例说明：在二阶系统中附加一个极点，随着 增大，根轨迹会向右变化，并穿过虚轴，使系统趋于不稳定。,4.2 根轨迹的绘制法则,4 具有时滞环节的系统 假设, 时滞系统的结构如图所示, 其开环传递函数为,闭环系统的特征方程式为,4.2 根轨迹的绘制法则,假设特征根 ，则满足特征根的幅值和辐角条件为,与前面介绍的根轨迹绘制法则相对比可知，时滞系统的根轨迹绘制法则要有所变化。,4.2 根轨迹的绘制法则,时滞系统的根轨迹
15、绘制法则： （1）起点（ ）。当 时，除开环极点 是起点外， 也是起点。 （2）终点（ ）。当 时，除开环有限零点 是终点外， 也是终点。 （3）根轨迹数目及对称性。根轨迹有无限多条分支。根轨迹对称于实轴。 （4）实轴上的根轨迹。实轴上根轨迹右侧的开环零、极点之和为奇数。,4.2 根轨迹的绘制法则,（5）分离点与会合点。,（6）渐近线。水平线，与虚轴交点为,4.2 根轨迹的绘制法则,（7）出射角与入射角。,（8）根轨迹与虚轴交点。,临界根轨迹放大系数,4.2 根轨迹的绘制法则,（9）复平面上的根轨迹。,由辐角条件，假设 得,例4-6 设系统的开环传递函数为,试绘制其根轨迹。,4.2 根轨迹的绘制法则,解 （1）起点 为： , ；其他起点为 ，其渐近线为,（2）终点 为： ，其渐近线同上。,（3）在实轴的 0 -1区间有根轨迹。 （4）分离点位置按式（4-25）计算，得,4.2 根轨迹的绘制法则,由此算得,当 时，得 ， 。因根轨迹位于0 1间，故分离点是 。,（5）根轨迹与虚轴交点。当 ， ，得,由此得,对应的临界根轨迹放大系数为,同理可计算 时的 和 值 。根据以上计算结果作的根轨迹如下图所示。,4.2 根轨迹的绘制法则,当滞后时间 很小时，根轨迹与虚
