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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 1 高等数学高等数学重点知识重点知识 第一讲第一讲 函数、连续与极限函数、连续与极限 一、理论要求 1.函数概念与性质 函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限 极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理 会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续 函数连续（左、右连续）与间断 理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值） 二、题型与解法 A.极限的求法 （1）用定义求 （2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法 （4）两个重要极限法 （5）用夹逼定理和单
2、调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法 （7）洛必达法则与 Taylor 级数法 （8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 一 寸 光 阴 不 可 轻 2 1. （等价小量与洛必达等价小量与洛必达） 2. 已知 （洛必达洛必达） 3. （重要极限重要极限） 4.已知 a、b 为正常数， 一 寸 光 阴 不 可 轻 3 （变量替换变量替换） 5. 解：令 6. （变量替换变量替换） 7.已知在 x=0 连续，求 a 解：令（连续性的概念连续性的概念） 三、补充习题（作业） 一 寸 光 阴 不 可 轻 4 1. （洛必达洛必达） 2. （洛必达或洛必达或 TaylorTaylor） 第二讲第二讲
3、 导数、导数、微分及其应用微分及其应用 一、理论要求 1.导数与微分 导数与微分的概念、几何意义、物理意义 会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程 2.微分中值定理 理解 Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor 定理 会用定理证明相关问题 3.应用 会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径） 二、题型与解法 A.导数微分的计 算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导 1.决定，求 2.决定，求 解：两边微分得 x=0 时，将x=0 代入等式得 y=1 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 3
4、.决定，则 B.曲线切法线问 题 5.f(x)为周期为 5 的连续函数，它在 x=1 可导，在 x=0 的某邻域内满足 f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求 f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。 解：需求，等式取x-0 的极限有：f(1)=0 C.导数应用问题 6.已知， ，求点的性质。 解：令，故为极小值点。 7.，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。 解：定义域 8.求函数的单调性与极值、渐进线。 解：， D.幂级数展开问 题 10.求 一 寸 光 阴 不 可 轻 6 解： = E.不等式的证明 11.设， 证：1）令 2）令 F.中值定理问题 12.设函数具有三阶连续导数，且， ，求证：在（-1，1）上存在一点 证： 其中 将 x=1，x=-1 代入有 两式相减： 一 寸 光 阴 不 可 轻 7 13.，求证： 证： 令 令 （关键：构造函数） 三、补充习题（作业） 1. 2.曲线 3. 4.证明 x0 时, 证：令 一 寸 光 阴 不 可 轻 8
