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1、魏老师天津高考物理拔高辅导 jingxuanjiaoxueziliao魏老师高考物理冲刺/全程辅导 第 页 版权所有翻印必究1*曲线运动“轨迹”问题的破解11 备考综合热身辅导系列高级物理教师 魏德田 近几年，涉及曲线运动“轨迹”一类问题，不断的出现在高中物理的阶段测试、历届高考中。及时、有效的破解此类问题，实乃备战 11 年高考的当务之急。本文拟就此做一探究。一、破解的依据破解此类问题，应用以下几条“依据”：判断物体的运动曲线轨迹的产生，根据“合速度与合外力（或合加速度）不共线”，即物体做曲线运动的条件。判断运动快慢程度改变的方式，若合速度与合外力（或合加速度）成“锐角”，为“加速”曲线运动
2、，力对物体做正功；“恒成直角”，为“匀速率”圆周运动，力对物体不做功；成“钝角”，则为“减速”曲线运动，力对物体做负功。反映物体速度大小的变化，属于合外力的切向加速效果。判断曲线的曲率改变，根据向“合外力（或合加速度）一侧”弯曲。反映物体速度方向的变化，属于合外力的法向加速效果；轨迹的性质（即抛物线、圆、双曲线等），可利用数学知识去证明等等。至于物体速度的方向沿着某点切线的方向；物体的合速度指实际速度，求合速度、合加速度、合外力，常用运动（矢量）合成的知识；求物体能量的变化，应用“动能定理”、“功能关系或能量守恒”；求物体动量的变化，应用动量定理、动量守恒等等。在原则上与解答诸类其他问题毫无二
3、致。二、解题示例例题 1（03 上海）如图1 所示，质量为 m 的飞机以水平速度 v0飞离跑道后逐渐上升，若飞机在此过程中水平速度保持不变，同时受到重力和竖直向上的恒定升力（该升力由其他力的合力提供，不含升力）。今测得当飞机在水平方向的位移为 l 时，它的上升高度为 h。求：飞机受到的升力大小；从起飞到上升至 h 高度的过程中升力所做的功及在高度 h 处飞机的动能。解析已知飞机受重力 mg 和竖直向上的升力 N等恒力作用，合外力 F 合 必为恒力。由牛二定律，可得 magN由“依据“知，合外力方向是竖直向上的。已知飞机在水平速度保持不变，再结合“依据”,可知飞机做“类平抛”运动。由平抛运动规律
4、，可得tvlah021 图1 l魏老师天津高考物理拔高辅导 jingxuanjiaoxueziliao魏老师高考物理冲刺/全程辅导 第 页 版权所有翻印必究2联立式，即可求出.20lmhvgN易知，升力所做的功为20lvhWN由动能定理得201mvEgKN从而，可求出飞机在高度 h 处的动能.)4(220lvK点拨根据题中式可得曲线方程 ,再由数学知识（“依据”）可知，havl20飞机的运动轨迹为抛物线。例题 2（06 重庆）如图2 所示，带正电的点电荷固定于 Q 点，电子在库仑力作用下，做以 Q 点为焦点的椭圆运动。M、P、N 为椭圆上的三点，P 点是轨道上离 Q 最近的点。电子在从 M 经
5、 P 到达 N 点的过程中 （ ）A速率先增大后减小 B.速率先减小后增大C.电势能先减小后增大 D.电势能先增大后减小解析为简单起见,只分析电子在 M、N 两点的情况。从图3 可见，在 M、N 两点速度与库仑力分别成锐角、钝角。由依据、可知，电子从 M 点到 P 点做“加速”曲线运动，从 P 点到 N 点则做“减速”曲线运动，速率先增大后减小。故选项 A 对 B 错。由动能定理可知，在“加速”段电子的动能增加，电场力做正功；在“减速”段电子的动能减少，电场力做负功。再根据电场力做功与电势能的关系可知，“加速”段系统的电势能减少，“减速”段系统的电势能增加，即电势能先减小后增大。故选项 C 对
6、 D 错。综上所述，本题正确选项为 A、C。点拨类似地，在同步卫星的变轨发射问题中，卫星的线速度的变化，应根据向心力（合外力）与线速度的夹角来判断。而比较地球提供的向心力 （万有引力）2rMmGF供与卫星所需要的向心力 的大小，则可确定卫星做离心、近心或者圆周运动。v2需例题 3一列火车以大小为 V0的速度向东匀速行驶，在列车内水平而光滑的桌面上放NMP Q图2QNMP图3魏老师天津高考物理拔高辅导 jingxuanjiaoxueziliao魏老师高考物理冲刺/全程辅导 第 页 版权所有翻印必究3一个小球。在列车由 O 点开始向北转弯、加速运动的过程中，小球的运动轨迹大致为图4 当中的那一个：
7、 （ ）解析先来讨论列车的运动。由题设，可知列车由 O 点开始向北转弯、加速运动，初速度为 V0。设列车的合加速度为 a0，应为分别在 x、 y 轴的加速度 at（加速）、 an（转弯）的矢量和。由图5 甲可见，加速度 a0与初速度 V0并“不共线”、成锐角（ 0） 、方向为“东偏北”。由“依据”、，可以判断列车做东偏北、加速、曲线运动，运动轨迹大致如图4A 所示。然后，设列车在加速转弯曲线上的任意点 P1的瞬时速度为 VP1，类似地,得到此时的合加速度 a1 与速度 VP1“不共线 ”、成锐角（ 1）、方向也为东偏北，图5 乙所示。由此可进一步证实上述结论的正确性。接下来，分析同一时刻小球在
8、对应于 P1的 P2点的情况。由于桌面是光滑的，因而小球相对列车的加速度 a2 -a1，“西偏南”的方向。再根据“运动的合成”及平行四边形定则，求出小球对列车的相对速度 V/，如图5 丙所示。显然，小球的加速度 a 2， ，与相对速度 V/并“不共线”、成锐角（ 2 ）、方向为“西偏南”。从而，由“依据”、，我们可断定小球做西偏南的、加速、曲线运动，其运动轨迹大致如图4B 所示。因此，正确的答案为选：B。点拨可以证明，在恒定合外力作用下物体做曲线运动的轨迹都为抛物线。无论列车、还是小球的所受合外力的大小、方向都在不断变化，其运动轨迹都不是抛物线，且两者的形状、方向以及弯曲程度等也不一致。请读者
9、细心揣摩、体会。例题 4如图6 所示,在粒 子散射实验中,实线为某 粒子经过某一金原子核附近时的运动轨迹,图中 PQ 是轨迹上的两点,虚线是经过 P、Q 两点并与轨迹相切的直线,两虚线和轨迹将平面分为四个区域.不考虑其他原子核对 粒子的作用,关于原子P Q图6图5atP1ana1VP1 1P2a2 2 v0VP1Oan0 a0V0at0 0甲 乙 丙V/o图4oo oxyV0x x xy yV0V0V0A B C D东北魏老师天津高考物理拔高辅导 jingxuanjiaoxueziliao魏老师高考物理冲刺/全程辅导 第 页 版权所有翻印必究4核的位置 （ ）A.一定在区 B.一定在区 C.可
10、能在区 D.一定在区解析首先，分析 粒子在 P 点的受力情况。假如四个区域都有金原子核，由于金核和 粒子均带正电荷，因而 粒子可分别受到四个库仑斥力的作用，如图7 所示。然后，当 粒子在 P 点时，由“依据”可知，斥力 F3、F 4不能使它产生向下弯曲的轨迹。由“依据”可知， 粒子能够在斥力 F1、F 2作用下由此开始沿图内“实线”做减速运动。即金核有可能分布在、两个区域内。当 粒子在 Q 点时，由“依据”可知，斥力 F2不可能使 粒子产生“实线”这样向下弯曲的的运动轨迹，而斥力 F3早已被排除在外。旋而，又彻底推翻了前面在区域内可能有金核的判断。综上所述，正确的答案应选：A。 点拨解答此例的
11、妙处，既应用破解“曲线轨迹”问题的规律，又选择了解选择题的“排除法”。例题 5如图8 所示，在匀强电场中将一带电量为+ q、质量为 m 的小球以初速度-竖直向上抛出。若匀强电场的场强为 E=mg/q,试求：描绘出小球的运动轨迹；小球到达最高点时的速度、位移；当小球再回到与出发点同样高度的 C 点时的速度。解析此例即带电小球在复合场中做曲线运动的问题。首先，分析可知带电小球受水平向右的电场力、竖直向下的重力等恒力的作用。如图9 所示，a 1、a 2和 a 分别表示电场力、重力和合力产生的加速度；合加速度 a，与初速度 V0“不共线”、成 的钝角、方向为“右斜下”；V 1、V 2为初速度 V0正交
12、分解产生的。由“依据”、并结合运动学知识，可知小球在该复合场内做“类斜抛运动”，图9 中的“曲线”表示小球运动的轨迹。显然，在小球自 O 点运动到最高点 B的过程中，重力、电场力分别做负功、正功。设小球在水平、竖直方向的位移分别为 x =OA, y=AB。则根据动能定理，可得 qmgEvxyB201由以上三式，可以求出Q F2F4F1F3 VQPF2F1F3F4VP图7qv0mE图8Av0a1aa2O图9CBv2 v1v0CVCV/V0图10魏老师天津高考物理拔高辅导 jingxuanjiaoxueziliao魏老师高考物理冲刺/全程辅导 第 页 版权所有翻印必究5gvyxB20接下来，由“运
13、动的合成”和式，可得.1tan.202xygvs其中，S 表示小球在最高点 B 时对 O 点的位移， 表示位移与水平方向的夹角。显见， 等于 45。分析可知，当小球自最高点 B 回到与 O 点“等高”的 C 点时，分别发生水平、竖直位移 x、 y。由于在水平方向小球只受恒定电场力作用，因而它做初速度为零的匀加速运动。由合运动、分运动的等时性和等分时间的位移关系可得 x3:1再设小球在 C 点时的速度为 VC ，在自 O 经 B 到 C 的全过程中，只有电场力做功，根据动能定理可得 2021)(mvxqE把上式与、联立，即可求出05vc如图11 所示，设 VC与水平方向的夹角为 ， 其方向表示为.sin0cv点拨解答此题的关键，在于能否弄清带电小球在做“类斜抛”运动，进而确认最高点、最远点的位置所在。只要抓住关键环节，随之切入突破，其他问题则迎刃而解。综上所述，只要我们在高中物理教学中，把握分析和解决此类问题的规律，并且在辛勤的解题实践活动当中不断的加深理解，即可变生疏为熟练，化迂拙为神奇，收到很好的教学效果。
