《(最新)平面向量的综合应用专题研究(习题和答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(最新)平面向量的综合应用专题研究(习题和答案)（8页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、平面向量的综合应用专题研究 1(2010 湖南卷改编 )已知 A，B 是圆心为 C 半径为5的圆上两 点，且 |AB |5，则AC CB 等于() A 5 2 B.5 2 C0 D.5 3 2 答案A 解析本题考查向量的数量积的运算由于弦长 |AB|5与半径 相同，则ACB60 ? AC CB CA CB |CA | |CB | cos ACB 55 cos60 5 2. 2已知 a，b 是两个非零向量， 给定命题 p：|a b|a|b|，命题 q： ? tR，使得 atb，则 p 是 q 的() A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 答案C 解析 |a b|a|
2、b|cos |a|b|， 0 或 180 ，即 a，b 共线 ? tR，使得 atb 成立 p 是 q 的充分条件 若? tR，使得 atb，则 a，b 共线， |a b|a|b|. p 是 q 的必要条件 综上可知， p 是 q 的充要条件 3P 是ABC 所在平面上一点，若 PA PB PB PC PC PA ，则 P 是ABC的() A外心B内心 C重心D垂心 答案D 解析由PA PB PB PC 得PB (PA PC )0.即PB CA 0. PB CA .同理PA BC .即 P 为垂心 4在平行四边形ABCD 中， AB a，AD b，则当 (ab)2(a b)2时，该平行四边形为
3、 () A菱形B矩形 C正方形D以上都不正确 答案B 解析数形结合，在平行四边形中， abAB AD AC ， abAB AD DB ，由|ab|ab|， |AC |DB |，对角线相等的平行四边形为矩形，故选B. 5若 O 是ABC 所在平面内一点， 且满足 |OB OC |OB OC 2OA |，则 ABC 的形状是 () A等腰三角形B直角三角形 C等腰直角三角形D等边三角形 答案B 解析OB OC 2OA OB OA OC OA AB AC ，OB OC CB AB AC ，|AB AC |AB AC |? |AB AC | 2|AB AC | 2 ? AB AC 0，三角形为直角三角
4、形，故选B. 6在ABC 中，AB BC 3，ABC 的面积 S 3 2 ， 3 2，则AB 与 BC 夹角的取值范围是 () A 4， 3 B 6 ， 4 C 6， 3 D 3， 2 答案B 解析设 AB ， BC ， 因为AB BC |AB | |BC | cos 3? |AB | |BC | 3 cos ，又 S1 2|AB | |BC | sin( )1 2 3 cos sin( )3 2tan ，而 3 2 S3 2? 3 2 3 2tan 3 2 ? 3 3 tan 1? 6 4.故选 B. 7如图所示， E、F、G、H 分别是四边形ABCD 的所在边的中 点，若 (AB BC )
5、(BA AD )0，则四边形 EFGH 是() A平行四边形，但不是矩形 B矩形 C菱形 D正方形 答案B 解析 AB BC AC ，BA AD BD ， 且(AB BC )(BA AD )0， AC BD 0，即AC BD . 又E、F、G、H 为四边形 ABCD 四边的中点， EH BD FG ，EF AC HG ， 故四边形 EFGH 为平行四边形且 EH EF ，即为矩形 8已知坐标原点为 O，抛物线 y 22x 与过焦点的直线交于 A、B 两点，则 OA OB 等于_ 答案 3 4 解析设 A(y 2 1 2 ，y1)，B(y 2 2 2 ，y2)， 则OA (y 2 1 2 ，y1
6、)，OB (y 2 2 2 ，y2)， 又由 y1y2p21. OA OB (y 2 1 2 ，y1)(y 2 2 2 ，y2)1 4y 2 1y22y1y2 1 41 3 4 9已知向量 m(0，1)，n(cosA,2cos 2C 2)，其中 A、B、C 是 ABC的内角，且 A、B、C 依次成等差数列，求 |mn|的取值范围 答案 2 2 ， 5 2 ) 解析2BAC，B 3，AC 2 3 ，0A2 3 . mn(cosA,2cos 2C 2 1)(cosA，cosC)， |mn|cos 2Acos2C 1cos2A 2 1cos2C 2 11 2cos2Acos 4 3 2A 11 2c
7、os 2A 3 32A 3 5 3 ， 1cos(2A 3) 1 2，|mn| 2 2 ， 5 2 ) 10(2012 烟台调研 )已知向量 m(ac，b)，n(ac，ba)， 且 m n0，其中 A，B，C 是ABC 的内角，a，b，c 分别是角 A，B， C 的对边 (1)求角 C 的大小； (2)求 sin Asin B 的取值范围 解(1)由 m n0， 得(ac)(ac)b(ba)0? a2b2c 2ab. 由余弦定理，得cosC a2b2c2 2ab ab 2ab 1 2， 0C ，C 3. (2) C 3，AB 2 3 . sinAsinBsinAsin(2 3 A) sinAs
8、in2 3 cosAcos 2 3 sinA 3 2sinA 3 2 cosA3( 3 2 sinA 1 2 cosA) 3sin(A 6) 0A2 3 ， 6A 6 5 6 . 1 2sin(A 6)1. 3 2 3sin(A 6) 3，即 3 2 sin Asin B3. 11 平面上的两个向量 OA ， OB 满足|OA |a， |OB |b， 且OA OB ， a2b24.向量OP xOA yOB (x，yR)，且 a2(x1 2) 2b2(y1 2) 2 1. (1)如果点 M 为线段 AB的中点，求证： MP (x1 2)OA (y1 2)OB ； (2)求|OP |的最大值，并求
9、此时四边形OAPB 面积的最大值 分析对第(1)问，可先求 OM ，再由条件即可得到结论；对第(2) 问，先设点 M 为线段 AB 的中点，进而利用第 (1)问的结论，并由条 件确定 P，O，A，B 四点共圆，结论即可得到 解析(1)因为点 M 为线段 AB 的中点，所以 OM 1 2OA 1 2OB .所 以MP OP OM (xOA yOB )( 1 2OA 1 2 OB )(x 1 2)OA (y 1 2)OB . (2)设点 M 为线段 AB 的中点，则由OA OB ， 知|MA |MB |MO |1 2|AB |1. 又由(1)及 a2(x1 2) 2b2(y1 2) 21，得 |MP |2|OP OM | 2(x1 2) 2OA 2(y1 2) 2OB 2(x1 2) 2a2(y 1 2) 2b21. 所以|MP |MO |MA |MB |1. 故 P，O，A，B 四点都在以 M 为圆心，1 为半径的圆上，所以当 且仅当 OP 为圆 M 的直径时， |OP |max2. 这时四边形 OAPB 为矩形， 则 S四边形 OAPB|OA | |OB |ab a2b2 2 2，当且仅当ab2时，四边形OAPB 的面积最大，最大值为 2.
