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1、122 第 5 章机械振动 一、选择题 5-1 一个质点作简谐振动，振幅为A，在起始时刻质点的位移为 2 A ，且向 x 轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为 分析与解图中旋转矢量投影点的运动方向指向Ox 轴正向，同时矢端在x 轴投影点的位移为 2 A , 满足题意 , 因而选 (D) 。 5-2 作简谐振动的物体，振幅为A，由平衡位置向 x 轴正方向运动，则物体 由平衡位置运动到 3 2 A x处时，所需的最短时间为周期的几分之几 (A) 1 /2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/12 分析与解设 1 t时刻物体由平衡位置向x轴正方向运动， 2 t时刻物体第一次运 动到
2、 3 2 A x处，可通过旋转矢量图，如图5-2 所示，并根据公式 2 tT得 31 226 tTTT，, 因而选 (C) 。 5-3 两个同周期简谐振动曲线如图5-3(a) 所示， 1 x的相位比 2 x的相位 O O OO A A x xx (A)(B)(D) (C) A/2-A/2 A/2-A/2 A A x 习题 5-1 图 习题 5-2 图 123 (A) 落后 2 (B) 超前 2 (C) 落后(D) 超前 分析与解可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图（b） ，正确答案为（ B） 。 5-4 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E，若振幅增加为原来的2 倍，振子 的质量增加为原来的4 倍，
3、则它的总能量为 (A) 2E(B) 4E(C) E(D) 16E 分析与解因为简谐振动的总能量 2 pk 1 2 EEEkA ，因而当振幅增加为原 来的 2 倍时，能量变为原来的4 倍，因而答案选 (B)。 5-5 两个同振动方向、 同频率、振幅均为 A 的简谐振动合成后， 振幅仍为 A， 则这两个简谐振动的相位差为 (A) o 60(B) o 90(C) o 120(D) o 180 分析与解答案（C） 。由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为 o 120 时, 合 成后的简谐运动的振幅仍为A。 二、填空题 5-6 一质量为 m 的质点在力 2 Fx作用下沿 x 轴运动，其运动的周期为 _。
4、 习题 5-5 图 x2 O x1x t (a) 习题 5-3 图 (b) 124 分析与解 由已知条件 2 Fx，可得 2 k, 又可以根据公式 k m 求出 角频率。将结果代入可得 2 222 2Tm k m m 。 5-7 一物体作简谐振动，其运动方程为 5 0.04cos() m 32 t x。（1）此简 谐振动的周期 T_； （2）当0.6 st 时，物体的速度v_。 分析 与解将 5 0.04cos() 32 t x与cos()xAt比 较 后 可 得 角 频 率 5 3 ，则周期 2 1.2(s)T。物体的速度 d55 0.04sin() d332 x vt t ，当 0.6 s
5、t时-0.209vm/s。 5-8 一质点沿 x 轴作简谐振动，振动范围的中心点为x 轴的原点，已知周期 为 T，振幅为 A。若0t时质点处于/ 2xA处，且向 x 轴负方向运动，则简谐 振动方程为x_。 分析与解可得质点的角频率 2 T ，再根据题意画出0t时刻对应的旋转 矢量图，可得初相位为 3 ，则简谐振动方程cos(2) T3 t A。 5-9 质量为 m的物体和一个弹簧组成的弹簧振子，其振动周期为 T，当它作 振幅为 A 的简谐振动时，此系统的振动能量E_。 分析与解简谐振动的总能量 22211 22 EkAmA。根据题意可得 2 T 。 代入得 222222 2 2 1112 =(
6、)= 222 2EkAmAm A mA TT 。 5-10 已知弹簧的劲度系数为1.3 N/cmk，振幅为 2.4 cm，这一弹簧振子的 机械能为 _。 习题 5-8 图 125 分析与解简谐振动的总能量 2-2 1 3.74 10 J 2 EkA 三、计算题 5-11 若简谐振动方程为0.10cos(20t+) 4 x，式中 x 的单位为 m，t 的单位 为 s ,求： （1）振幅、角频率、周期和初相； （2）速度的最大值。 分析 可采用比较法求解。将题目给的简谐运动方程与简谐运动方程的一般 形式比较后可得振幅、角频率和初相。再根据 d d x v t 写出速度的表达式。 解 （1）将0.1
7、0cos(20t+) 4 x与cos()xAt作比较，可得振幅 0.10mA，角频率20 rad/s，初相 4 ，则周期 2 0.1sT。 （2）速度 d 200.01sin(20t+) d4 x v t ，则速度的最大值 max 200.012 m/sv。 5-12 一物体沿 x轴作简谐振动，振幅为10 cm，周期为 2 s，在0t时， 5 cmx，且向 x轴负方向运动，求运动方程。 分析 根据题中已给条件振幅A，角频率 2 T 均已知，初相可由题给初 始条件由旋转矢量法方便求出。 解 由已知条件得0.1mA， 22 rad/s 2T 。0t时 A 5 cm= 2 x画出 该简谐运动的旋转矢
8、量图， 如图 512 所示， 可知 3 。 则m) 3 cos(1.0tx。 5-13 有一弹簧，当其下端挂一质量为m 的物体时，伸长量为 2 9.8 10 m。 若使物体上下振动， 且规定向下为正方向。（1）当0t时，物体在平衡位置上方 2 8.010 m处，由静止开始向下运动，求运动方程； （2）当0t时，物体在平衡 位置并以 0.60 m/s的速度向上运动，求运动方程。 习题 5-12 图 126 分析 振动的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定 k m ，其中k可 由物体受力平衡时弹簧得伸长计算，而振幅 A和初相 则由初始条件给出。 解（1） 根据物体受力平衡，FG， 得k lmg，
9、求出弹簧的劲度系数 mg k l 角频率 -1 10s kmglg mml 由初始条件0t时， 2 0 8.0 10 mx， 0 0v，得 2 22 0 0 8.0 10 m v Ax 利用旋转矢量法，如图（a）所示可知初相，则运动方程为 2 8.0 10cos 10(m)xt （2）当初始条件0t时， 0 0 mx， 0 0.60 m/sv，求得 2 220 0 6.010 m v Ax 利用旋转矢量法，如图（ b）所示可得初相 2 ，则运动方程为 2 6.0 10cos(10)(m) 2 xt 5-14 有一条简谐振动曲线如图5-14（a）所示，求： （1）该简谐振动的角频 率 ，初相位
10、0； （2）该简谐振动的运动方程，振动速度和振动加速度的表达 式。 习题 5-13 图 (b) (a) 127 分析 由已知的振动曲线可得样品的振幅A，周期T，角频率可由 2 T 求 得，并且从曲线中可得初始条件0t时， 0 0 cmx， 0 v0，通过旋转矢量可求得 初相 0， 以上参数都得到后即可写出简谐振动方程及振动速度和振动加速度的表 达式。 解 （1）由振动曲线可得样品的振幅2cmA，周期4sT，得角频率 2 rad/s 2T 当0t时， 0 0 cmx， 0 v0， 通过旋转矢量，如图 （b） 所示,可求得初相 0 2 （2）简谐振动的运动方程2cos()(cm) 22 xt 振动
11、速度 d sin()(cm/s) d22 x vt t 振动加速度 22 1 acos()(cm/s ) 222 dv t dt 5-15 质量为 10 g 的物体沿 x 轴作简谐振动，振幅10 cmA， 周期4.0 sT， 0t时物体的位移为 0 5.0 cmx，且物体朝 x 轴负方向运动，求：（1）1.0 st 时物体的位移；（2）1.0 st时物体所受的力；（3）0t之后何时物体第一次到 达5.0 cmx处； （4）第二次和第一次经过5.0 cmx处的时间间隔。 分析 根据题中已给条件振幅A，角频率 2 T 均已知，初相可由题给初 始条件由旋转矢量法求出。有了运动方程，t时刻的位移和t时
12、刻物体的受力 2 Fmamx也可求出，后面两问可通过旋转矢量图并根据公式t求出。 解 （1）由已知条件得0.1mA， 22 rad/s 42T 。0t时 A 5 cm= 2 x （a） O 24 t/s x/cm 2 题 5-14 图 （b） 128 画出该简谐运动的旋转矢量图，如图515（a）所示，可知 2 3 。则 2 0.10cos() cm 23 xt 1.0 st时物体的位移 2 0.10cos(0.1) cm8.66 cm 23 x （2） 1.0 st时物体的受力 2-3 2.1410 NFmamx （3） 设0t时刻后，物体第一次到达5.0 cmx处的时刻为 1 t， 由旋转矢
13、量图， 如图 5-15（b）所示，在两个不同时刻相位差相差，由 1 2stt （4） 设0t时刻后，物体第二次到达5.0 cmx处的时刻为 2 t， 由旋转矢量图， 如图 5-15 （c） 所示，在 1 t， 2 t两个不同时刻相位差相差 2 3 ， 由 21 4 s 3 ttt 5-16 如图 5-16(a) 所示，质量为 2 1.00 10kg的子弹，以 500 m/s的速度射入 并嵌在木块中，同时使弹簧压缩从而作简谐振动，设木块的质量为4.99 kg，弹 簧的劲度系数为 3 8.0010 N/m，若以弹簧原长时物体所在处为坐标原点，向左为 x轴正向，求简谐振动的运动方程。 分析 根据已知
14、条件可用动量守恒定律求出子弹射入后和木块的共同速度。 v m1 m2 k 习题 5-16 图 (b) (a) (a) (b) (c) 习题 5-15 图 129 振动的角频率是由弹簧振子系统得固有性质决定 k m ， 而振幅A和初相则由 初始条件给出。以上参数都得到后即可写出简谐振动方程。 解 子弹和木块的共同速度 1 0 12 1m/ s m v v mm = + 角频率 12 40rad / s k mm w = + 振幅 2 2200 0 2 2.510 vv Axm ww - =+=? 由旋转矢量，如图5-16(b) 所示，确定初相 2 p j = 简谐振动方程 2 2.510cos(
15、40) 2 xtm p - =? 5-17 一物块悬于弹簧下端并作简谐振动，当物块位移大小为振幅的一半时， 这个振动系统的势能占总能量的多少？动能占总能量的多少？又位移大小为多 少时，动能、势能各占总能量的一半？ 分析 简谐振动的总能量 22 11 22 EmAkA 2 ，其中 2 1 2 p Ekx ， 2 1 2 k Emv ， 即可求出动能与势能的大小。 解 当物块位移大小为振幅的一半时， 简谐振动的总能量 22 11 22 EmAkA 2 其中势能 2 211 2224 p AE Ekxk，动能 3 kp E EEE 因而势能占总能量的25%；动能占总能量的75%。 设物体在x处物体动
16、能和势能相等 Pk EE 1 2 PPP EEEEE 22111 22 22 A kxkAx 5-18 一劲度系数= 312 N/mk的轻弹簧，一端固定，另一端连结一质量 0.3 kg 0 m=的物体，放在光滑的水平面上，上面放一质量为0.2 kgm =的物体， 两物体间的最大静摩擦系数5.0，求两物体间无相对滑动时，系统振动的最 大能量。 130 分析 根据题意可知，两物体间无相对滑动，即m和 0 m有相同的速度和加速 度，可以看做一质量为 0 mm的弹簧振子，则振动的圆频率 0 k mm 。对 于放在上面的物体m来说， 它作简谐振动所需的回复力由两物体间的静摩擦力来 提供的，其最大静摩擦力对应其最大加速度 2 maxmax mgmamA，则最大总 能量 maxmax 1 2 EkA可方便算出。 解 两物体间无相对滑动， 即m和 0 m可以看做一质量为 0 mm的弹簧振子， 则振动的圆频率
