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1、第一章 集合 (Set),第一节 集合的基本概念 1.1 个体与集合之间的关系 1.2 集合的表示法 1.3 集合与集合之间的关系 1.4 幂集 第二节 集合的基本运算 2.1 集合的补运算 2.2 集合的交运算和并运算 2.3 集合的宏运算,1.1 个体与集合之间的关系 什么是集合，关于集合的各种不同说法如下。 1.莫斯科大学的那汤松教授说： 凡具有某种特殊性质的对象的汇集称之为集。 2.复旦大学的陈建功教授说： 凡可供吾人思维的，不论它有形或无形，都叫做物。具有某种条件的物，称它们的全部谓之一集。 3.南开大学的杨宗磐教授说： 集就是“乌合之众”。不考虑怎样“乌合”起来的，众可以具体，可以
2、抽象。 4. 集合论之父 G.Cantor（1845-1918）说： 集是由总括某些个体成一个整体而成的。对于每个个体，只设其为可思考对象，辨别它的异同。个体之间并不需要有任何关系。,综上所述集合的概念有三要素 1. 个体（元素） 2. 个体的可辨认性 3. 集合（动词） 通常用小写拉丁字母表示个体：a、b、c、d 通常用大写拉丁字母表示集合：A、B、C、D 个体与集合之间的关系称为属于关系。 对于某个个体a和某个集合A而言，a只有两种可能 1）a 属于A，记为 aA，称a是A中的元素。 2）a 不属于A，记为 aA ，称a不是A中的元素。 判断个体 a 属于A还是不属于A，必须使用个体的可辨
3、认性，而且个体的可辨认性是无二义性的，即或者 a 属于 A或者 a 不属于A，二者居其一且只居其一。 关于个体的辨认有赖于各方面的公认的知识。,集合（名词）,1.2 集合的表示法,文字表示法 用文字表示集合的元素，两端加上花括号。 在座的同学 高等数学中的积分公式 元素列举法 将集合中的元素逐一列出，两端加上花括号。 1，2，3，4，5 风，马，牛 2，4，6，8，10， 谓词表示法 xp(x) p 表示 x 所满足的性质。 xx2 = 1 yy 是开区间 (a,b) 上的连续函数 使 x2 = 1 的实数 1，-1 xx2 = 1 ,集合的特殊情况,不含任何元素的集合称为空集，记为 或 。
4、只含一个元素的集合称为单元素集，记为 a 。 含讨论问题所需全部元素的集合称为全集，记为X。,1.3 集合与集合之间的关系,定义1 设A，B是两个集合 1）若对于A中的每个元素x，都有x属于B，则称A包含在B中，记为AB。同时称A是B的子集。 2）若A中的每个元素都属于B，且B中的每个元素都属于A，则称A等于B，记为A=B。 子集的两种特殊情况（平凡子集）： 1）空集是任一集合的子集。 2）每个集合是它自己的子集。 集合与集合之间的关系称为包含关系。,1.4 幂集,定义2 设A是集合，A的所有子集组成的集合称为A的幂集，记为 2A。 2A = x x A 定理1 设集合A是有限集合， A =
5、n，则 2A = 2 A 。 定理2 设 A,B 是两个集合。那么 A=B 当且仅当 2A = 2B。,第二节 集合的基本运算,2.1 集合的补运算（一元运算） 定义1 设X是集合，A是X的子集。 A= x xX xA 称A是A关于X的补集，称 为补运算。 定理1 设X是集合，A，B是X的子集。则 1）(A) =A； 2）若A B，则B A； 3）若A = B，则A= B ； 4）X= ，=X。,2.2 集合的交运算和并运算,定义2 设A，B是两个集合 1）AB = xxAxB ，称AB为A与B的交集，称为集合交运算。 2）AB = xxAxB ，称AB为A与B的并集，称为集合并运算。 定理2
6、 设X是全集，A，B，C是X的三个子集合，则 1）AA=A， AA=A 2）AA = ， AA =X 3）AX=A， AX=X 4）A = ， A =A 5）AB= BA， AB= BA 6）(AB) C = A (BC), (AB) C = A (BC) 7）A(B C) = (AB) (AC) A(B C) = (AB) (AC),定理3 设A，B，C为三个集合，则 1）A AB， AB A； 2）若 A C 且 B C，则 AB C； 3）若 C A 且 C B，则 C AB 。 定理4 设A，B为两个集合，则下面三式等价。 1）A B 2）AB = B 3) AB=A 定理5 设A，B
7、为两个集合，则 1）( AB) = AB 2）( AB) = AB,2.3 集合的宏运算,定义3 设A,B是两个集合，AB = xxAxB ，称 AB 为 A 和 B 的差集，称 为集合差运算。 由差运算、交运算、补运算的定义知 AB = AB。 由于差运算可以由并、交、补运算线性表出，因此称差运算为宏运算。 请问：并、交、补三个运算是线性无关的吗？,定理6 设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，则 1) AB A ； 2) AA = ； 3) XA = A ；AX = ； 4) A = A ； A = ； 5) A(BC)= (AB) ( AC) ； 6) A(BC)=(AB)(AC) 7
8、) (AB)C=A(BC) ； 8) A(BC) = (AB) (AC) ； 9) A(BC) = (AB)(AC) 。,2.4 集合的环和（对称差）运算,定义4 设A,B是两个集合， AB = x(xAxB) (xBxA) 称AB为A和B的环和集，称为集合环和运算。 由环和运算和并、差运算的定义知 AB= (AB)(BA) 由环和运算和并、交、补运算的定义知 AB= (AB)(BA) 因此环和运算也是宏运算。,定理7 设X是全集，A，B，C是X的三个子集合，则 1）AB = (AB)(AB) = (AB)(AB) ； 2）A = A ；AX = A ； 3）AA = ；AA= X ； 4）A
9、B = AB ； 5）(AB) = AB = AB ； 6） AB = BA ； 7） A(BC) = (AB)C ； 8） A(BC) = (AB)(AC) ； 9）若 AB = AC，则B=C 。,2.5 集合的环积运算,定义5 设A，B是两个集合， AB = x(xAxB) (xBxA) 称 A B 为A和B的环积集，称为集合环积运算。 由环和运算和环积运算的定义知 AB= (AB) 由环积运算和并、交、补运算的定义知 AB= (AB)(BA) 因此环积运算也是宏运算。,定理8 设X是全集，A,B,C是X的三个子集合，则 1) AB = (AB) = AB = AB ； 2) A = A ；AX = A ； 3) AA = X ；AA= ； 4) A B = AB ； 5) (AB) = AB = AB ； 6) AB = BA ； 7) A(BC) = (AB) C ； 8) A(BC) = (AB)(AC) 。,
