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1、第五讲 定积分 内容提要与典型例题,一、主要内容,问题1: 曲边梯形的面积,问题2: 变速直线运动的路程,定积分,存在定理,反常积分,定积分 的性质,牛顿-莱布尼茨公式,定积分的 计算法,二、内容提要,1 定积分的定义,定义的实质,几何意义,物理意义,2 可积和 可积的两个充分条件,3 定积分的性质,线性性,可加性,非负性,比较定理,估值定理,积分中值定理,积分中值公式,若M 和 m 是,积分上限函数及其导数,牛顿莱布尼茨公式,定积分的计算法,（1）换元法,换元积分公式,（2）分部积分法,分部积分公式,微积分基本公式,利用对称区间上奇偶函数的性质简化定积分的计算,广义积分,(1)无穷限的广义积
2、分,(2)无界函数的广义积分,三、典型例题,例,求极限（1）,解,解,练习:,求极限,解：,原式,如果能把数列的通项写成,的形式，,就可以利用,或,把数列极限问题转化为定积分,的计算问题.,与数列的极限有着密切联系。,由以上两例可见，连续函数 f ( x ) 的定积分,例 证明,证: 令,则,令,得,故,例,解,例. 求,解: 令,则,原式,例. 求,解:,解,是偶函数,例,例. 设,解:,例,设,求,解,这是 型未定式的极限,解,由LHospital法则,a = 0 或 b =1,将 a = 0 代入知不合题意, 故 b =1.,例 试确定 a , b 的值使,19,例,已知两曲线,在点,处
3、的切线相同,写出此切线方程,并求极限,解,故所求切线方程为,例,设,在,上是单调递减的连续函数，,试证,都有不等式,证明：显然,时结论成立.,(用积分中值定理),当,时,故所给不等式成立 .,明对于任何,例 设 f ( x ) 在 0,1 上连续，且满足条件,例 设 f ( x ) 在 a,b 上连续，且,证明：方程,有且只有一个根。,例 设 f ( x ) , g ( x ) 在 a , b 上连续，证明,证,关键在于作出辅助函数 F(x),则 F(a)、F(b) 的符号不易判别，得不出结论,则 F ( x ) 在 a , b 上连续，在 ( a , b ) 内可导 且F ( a ) = F
4、 ( b ) = 0,由 Rolle 定理知：,辅助函数法证明定积分等式主要适用于证明在积分限中至少存在一点 使等式成立的命题。,移项使一端为 0,另一端即为,验证 F(x)满足介值定理或 Rolle 定理,注：,例.,设函数 f (x) 在a, b 上连续,在(a, b) 内可导, 且,(1) 在(a, b) 内 f (x) 0 ;,(2) 在(a, b) 内存在点 , 使,证: (1),由 f (x)在a, b上连续,知 f (a) = 0.,所以f (x),在(a, b)内单调增,因此,即,(2) 设,满足柯西中值定理条件,于是存在,例. 设,证: 设,且,试证 :,则,故 F(x) 单调不减 ,即原等式成立.,
