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1、8/3/2020,微积分讲义,设计制作,王新心,8/3/2020,4.5最大值与最小值，,（一）最大值与最小值,（二）极值应用问题举例,极值的应用问题,8/3/2020,（一）最大值与最小值,第四章 中值定理与导数的应用,函数在闭区间上连续，,该区间上必取得最大值与最小值。,则函数在,函数的最大,（小）值与函数的极大（小）值是不同的概念。,是区间上的最大（小）值，,是指,是区间上所有函数值中最大（小）者,而是区间上的极大（小）值，,是指,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,者。,可见最大（小）值是区间上的全局,中的所有函数值中的最大（小）,概念，,是包含在内的一个的邻域,个邻域的局
2、部概念。,而极大（小）值则是区间内的一,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,大值与最小值的步骤：,（1）求出函数的全部驻点和不可导的点；,（2）计算这些点的函数值及区间端点的,（3）比较它们的大小，,函数值；,一般而言，,其中最大（小）者,即区间上的最大（小）值。,求连续函数在区间上的最,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,内可导，,而无极小值，,则此极大值即最大值。,特别的，,若在上连续，,在,若在内有且仅有一个极大值,而无极大值，,则此极小值即最小值。,若在内有且仅有一个极小值，,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,例1求在区间上的,最大值与最小值。,解
3、在4.4例2中已求出在驻点,处取到极小值，,在导数不存在的点,处取得极大值。,计算区间端点处的函数值,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,比较这些值的大小：,得在上处取得最小值,在及处取得最大值,8/3/2020,（二）极值应用问题举例,第四章 中值定理与导数的应用,四角各截去一个大小相同的小正方形，,然后将,四边折起做成一个无盖方盒，,问截掉的小正方,形边长为多大时，,所得方盒的容积最大？,例2将边长为的一块正方形铁皮，,方盒的容积为,解设小正方形的边长为，,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,求得,因为只有点在区间内，,所以,只需对进行检验。,当时，,当时，,也是最
4、大值,所以函数在点处取得极大值，,即当截去的小正方形的边长等于所给正方形铁,皮边长的时，,所做成的方盒容积最大。,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,例3要做一个容积为的圆柱形罐头筒，,怎样设计才能使所用材料最省？,解显然要材料最省，,就是要,罐头筒的总表面积最小。,设罐头筒的,底面半径为，高为，,总表面积为,由体积公式有,所以,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,得,此时高为,也是最小值,令,又,因此在点处为极小值，,即当罐头筒的高和底直径相等时，用料最省。,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,例4在1.5的例2中，,曾求得一年中库存,费与生产准备费的和与
5、每批产量的函数,关系为,其中为年产量，为每批次的生产准备费，,为每台产品的库存费，,问在不考虑生产能力,的条件下，,每批生产多少台时，,最小？,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,解,因为,取得极小值，也是最小值。,（舍去）,即要使库存费与生,令,有,所以,又因,因此当时,产准备费之和最小的最优批量应为。,8/3/2020,内容小结,连续函数的最值,最值点应在极值点和边界点上找,作业P196 20-31,第四章 中值定理与导数的应用,应用题可根据问题的实际意义判别,8/3/2020,备用题,第四章 中值定理与导数的应用,1.设函数,试求,在上的最大值和,解,令,得内唯一的驻点,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,最大值为,也是最大值点。,故是极大值点，,8/3/2020,第四章 中值定理与导数的应用,2.设,在内的驻点为,并求最小值。,问为何值时，最小？,解先求的驻点，,令,得驻点,再求的最小值，,令,得唯一的驻点,当时，；,当时，；,极小值点，,最小值为,是,也是最小值点，,
