《第五节微分课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第五节微分课件（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、8/3/2020,微积分讲义,设计制作,王新心,8/3/2020,3.5 微分,（一）微分的定义,（二）微分的几何意义,（三）微分法则,（四）微分形式的不变性,（五）微分的应用,8/3/2020,（一）微分的定义,第三章 导数与微分,引例一块正方形金属薄片受温度变化,的影响，,其边长由变到，,积改变了多少?,问此薄片面,关于的 线性主部,时是 高阶无穷小,函数在处的微分,8/3/2020,第三章 导数与微分,量可表示为,【定义3.3】若函数在点的增,（为不依赖于的常数）,则称函数在点处可微，,而称为,在点处的微分，,记作或，,即,8/3/2020,第三章 导数与微分,定理函数在点可微,在点处可
2、导，,且,即,证明,若在点可微,故在处可导，,且,8/3/2020,第三章 导数与微分,若在点可导，,故在处可微。,则,证毕.,所以,8/3/2020,第三章 导数与微分,说明,当时，,即,8/3/2020,第三章 导数与微分,则,若令，,即,于是函数的微分可写成,也就是说，,函数的微分就是函数的导数与,自变量的微分之积。,量的微分的商，,因此称其为微商。,前面用过的导数是函数的微分与自变,8/3/2020,第三章 导数与微分,的微分。,例1求函数当由1改变到1.01时,解函数的微分为,由条件,所以,例2求函数的微分,解,8/3/2020,（二）微分的几何意义,第三章 导数与微分,由导数的几何
3、意义知,而,在中，,切线的纵坐标的改变量。,即函数的微分是过点的,8/3/2020,（三）微分法则,第三章 导数与微分,由可知，,求微分，,只要求出,导数，,再乘上即可。,微分基本公式,（为常数）,（为常数）,8/3/2020,第三章 导数与微分,8/3/2020,第三章 导数与微分,8/3/2020,（四）微分形式的不变性,第三章 导数与微分,定理若函数可导，,无论是自,变量还是中间变量，,总有,微分的形式不变性,证明,（1）若是自变量，,由微分定义得,（2）若是中间变量，,证毕,8/3/2020,第三章 导数与微分,例3求函数的微分,解,例4求函数的微分,解,8/3/2020,第三章 导数
4、与微分,（五）微分的应用,本节只介绍微分在近似计算中的应用,若函数在点处可微，,则,当时，,忽略高阶无穷小有,即,8/3/2020,第三章 导数与微分,例5一个外直径为的球，,解半径为的球体积为,球壳厚度,为，,试求球壳体积的近似值。,8/3/2020,第三章 导数与微分,例6求的近似值,解将其看成求函数在点,处函数的近似值问题。,令,8/3/2020,内容小结,1. 微分概念,（1）微分的定义及几何意义,2. 微分的运算法则,3.微分形式的不变性,第三章 导数与微分,（2）可微可导,作业P143 56-62,8/3/2020,备用题,第三章 导数与微分,1. 设函数的图形如下，,试在图中,标出点处的和,并说明其正负,8/3/2020,第三章 导数与微分,8/3/2020,第三章 导数与微分,5.设由方程,确定，,求,解方程两边求微分得,当时，,代入上式得,8/3/2020,第三章 导数与微分,6.已知,求,解方程两边求微分得,解得,
