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1、学案12 导数的应用,1.以解答题的形式考查利用导数研究函数的单调性,求单调区间,求极值与最值. 2.以实际问题为背景,考查利用导数解决生活中的优化问题. 3.以解答题的形式考查导数与解析几何、不等式、平面向量等知识相结合的问题.,2.函数的极值 (1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时, 如果在x0附近的左侧, 右侧 ,那么f(x0)是极大值. 如果在x0附近的左侧 ,右侧 ,那么f(x0)是极小值. (2)求可导函数极值的步骤 求f(x); 求方程 的根;,f(x)0,f(x)0,f(x) 0,f(x)0,f(x)=0,考察在每个根x0附近,从左到右导函数f
2、(x)的符号如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得 ;如果左负右正,那么f(x)在x0处取得 . 3.函数的最值 (1)在闭区间a,b上连续的函数f(x)在a,b上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在a,b上单调递增,则 为函数的最小值, 为函数的最大值;若函数f(x)在a,b上单调递减,则 为函数的最大值, 为函数的最小值.,极小值,极大值,f(a),f(b),f(a),f(b),(3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下: 求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(
3、a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,极值,考点1 函数的单调性与导数,已知f(x)=ex-ax-1. (1)求f(x)的单调增区间; (2)若f(x)在定义域R内单调递增,求a的取值范围; (3)是否存在a,使f(x)在(-,0上单调递减,在 0,+)上单调递增?若存在,求出a的值;若不存 在,说明理由.,【解析】 f(x)=ex-a. (1)若a0,f(x)=ex-a0恒成立,即f(x)在R上递增. 若a0,ex-a0,exa,xlna. f(x)的单调递增区间为(lna,+). (2)f(x)在R内单调递增,f(x)0在R上恒成立. ex-a0,即aex在R上
4、恒成立. a(ex)min,又ex0,a0.,【分析】 (1)通过解f(x)0求单调递增区间; (2)转化为恒成立问题求a; (3)假设存在a,则x=0为极小值点,或利用恒成立问题.,(3)解法一:由题意知ex-a0在(-,0上恒成立. aex在(-,0上恒成立. ex在(-,0上为增函数. x=0时,ex最大为1.a1. 同理可知ex-a0在0,+)上恒成立. aex在0,+)上恒成立. a1,a=1. 解法二:由题意知,x=0为f(x)的极小值点. f(0)=0,即e0-a=0,a=1.,【评析】利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便,但应注意f(x)0(或f(x)0)仅是f(
5、x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应是f(x)0或f(x)0,x(a,b)恒成立,且f(x)在(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时,应令f(x)0或f(x)0恒成立,解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值
6、应舍去,若f(x)不恒为0,则由f(x)0或f(x) 0恒成立解出的参数的取值范围确定.,已知函数f（x）=x3+ax2+x+1，aR. (1)讨论函数f（x）的单调区间； (2)设函数f（x）在区间（ ）内是减函数，求a的取值范围.,【解析】（1）f（x）=x3+ax2+x+1，f(x)=3x2+2ax+1, 当=（2a）2-34=4a2-120,即 a 时，f(x)0恒成立，,此时f（x）为单调递增函数，单调区间为（-,+）. 当=(2a)2-34=4a2-120,即a 或a ，函数f(x)存在零解， 此时当x 时，f(x)0， 当x 时,f(x)0,函数f(x)单调递增, 当 x 时,f
7、(x)0,函数f(x)单调递减.,此时函数的单调区间为 若a 或a ,则（-, ）,（ ,+）为单调递增区间; （ ）为单调递减区间. (2)若函数在区间（ ）内是减函数,则说明f(x)=3x2+2ax+1=0两根在区间（ ）外,因此 f（ ）0,且f（ ）0,由此可以解得a2. 因此a的取值范围是2,+).,考点2 函数的极值与导数,设a为实数，函数f(x)=ex-2x+2a,xR. (1)求f(x)的单调区间与极值； (2)求证：当aln2-1且x0时，exx2-2ax+1.,【分析】求出f(x),利用f(x)0,f(x)0,求出单调区间,再求极值.,【解析】 (1)由f(x)=ex-2x
8、+2a,xR知f(x)=ex-2,xR. 令f(x)=0，得x=ln2. 于是当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：,故f(x)的区间是(-,ln2)，区间是(ln2,+),f(x)在x=ln2处取得极小值，极小值为f(ln2)=eln2-2ln2+2a= 2(1-ln2+a) (2)证明:设g(x)=ex-x2+2ax-1,xR,于是g(x)=ex-2x+2a,xR. 由(1)知当aln2-1时,g(x)取最小值为g(ln2)=2(1-ln2+a)0. 于是对任意xR,都有g(x)0,所以g(x)在R内单调递增. 于是当aln2-1时,对任意x(0,+),都有g(x)g(0). 而
9、g(0)=0,从而对任意x(0,+)都有g(x)0. 即ex-x2+2ax-10,故exx2-2ax+1.,【评析】本题考查导数的运算,利用导数研究函数的单调区间,求函数的极值和证明函数不等式,考查运算能力、综合分析和解决问题的能力.,设函数f(x)=-x(x-a)2(xR)，其中aR. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程； (2)当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值.,(1)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x, f(2)=-2,f(x)=-3x2+4x-1, f(2)=-12+8-1=-5, 当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f
10、(2)处的切线方程为 5x+y-8=0.,(2) f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x, f(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a), 令f(x)=0，解得x= 或x=a. 由于a0，以下分两种情况讨论. 若a0,当x变化时，f（x）,f(x)的变化情况如下表：,因此，函数f(x)在x= 处取得极小值f( ),且f( )= ; 函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.,若a0,当x变化时，f（x）,f(x)的变化情况如下表：,因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0; 函数f(x)在x= 处取得极大值f( ), 且f( )
11、= .,已知a为常数，求函数f(x)=-x3+3ax(0 x1)的最大值.,f(x)=-3x2+3a=-3(x2-a). 若a0，则f(x)0，函数f(x)单调递减. 当x=0时，有最大值f(0)=0. 若a0，则令f(x)=0，解得x= . x0,1,则只考虑x= 的情况. 如下表所示:,【解析】,考点3 函数的最值与导数,【分析】考查导数法求函数的最值.,(1)0 1，即0a1，当x= 时,f(x)有最大值f( )=2a . (2) 1，即a1，当x=1时,f(x)有最大值f(1)=3a-1. 综上,当a0,x=0时，f(x)有最大值0; 当0a1,x= 时,f(x)有最大值2a ; 当a
12、1，x=1时，f(x)有最大值3a-1.,【评析】本题利用导数法求函数的极值,再求最值.,函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在0,3上的最大值是 ，最小值是 .,【解析】,考点4 最优化问题,一 艘 轮船在航行中的燃料费和它速度的立 方成 正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元.问此轮船以多大速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？,【分析】由题意构造函数，利用导数求最值.,【解析】设船的速度为x(x0)（公里/小时）时,燃料费用为Q元，则Q=kx3. 由6=k103可得k= ,Q= x3. 总费用y=( x3+96) = x2+
13、. y= x- .令y=0得x=20. 当x(0,20)时,y0，此时函数单调递减. 当x(20,+)时,y0，此时函数单调递增. 当x=20时，y取得最小值. 此轮船以20公里/小时的速度行驶时每公里的费用总和最小.,【评析】 （1）用导数解应用题求最值的一般方法是：求导，令导数等于零;求y=0的根，求出极值点;最后写出解答. （2）在有关极值应用的问题中，绝大多数在所讨论的区间上函数只有一点使得f(x)=0,且在两侧f(x)的符号各异，一般称为单峰问题，此时该点就是极值点 ，也是最值点.,已知某生产厂家的年利润y(单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=- x3+81x-23
14、4，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件,【解析】,1.当求出函数的单调区间(如单调增区间)有多个时,不能把这些区间取并集. 2.可导函数的极值点必须是导数为零的点,但导数为零的点不一定是极值点,如f(x)=x3在x=0处导数f(0)=0,但x=0不是它的极值点,也就是可导函数在点x0处的导数f(x0)=0是该函数在x0处取得极值的必要不充分条件.特别地,函数的不可导点(如尖点)也可能是极值点.,1.在实际问题中,如果函数在区间内只有一个极值点,那么只要根据实际意义判定最大值还是最小值即可,不必再与端点的函数值比较. 2.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可能.,祝同学们学习上天天有进步！,
