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1、第二章 连续线性时不变（LTI）系统时域分析,2-1 二阶电路时域模型与时域经典分析,一、 RLC串联电路零输入响应,t0 , 开关断开,设：,t 0 , 开关合上，有：,可得,又,特征方程：,t0 , 列关于uc(t)的微分方程：,二阶常系数线性 齐次微分方程,初始条件,特征根:,（自然频率、固有频率）,1、单实根： （过阻尼） 即,由于,所以,4、R=0 （无阻尼）,（欠阻尼）,uc(t),0,t,Us,特征根为共轭虚根：,二、 RLC串联电路零状态响应,t0 , K在1，列关于uc(t)的微分方程：,特征方程：,t0 , K在2,电路稳定，有,初始条件：,通解:,齐次方程的通解 自由响应
2、,特解 强迫响应,二阶常系数线性 非齐次微分方程,特解：,三、 RLC串联电路全响应,t0 , K在1，由KVL, 有,特征方程：,t0 , K在2,有,初始条件：,二阶常系数线性 非齐次微分方程,通解:,齐次方程的通解,特解,特解：,全响应另外求法：分别求出零输入响应和零状态响应。,例：判断图示电路的阻尼情况。,过阻尼,例: t=0时开关打开，求,时的 。,解：,微分方程,1. 当R=5时,特征根,过阻尼。,2. 当R=4时,特征根,临界阻尼。,3. 当R=1时,特征根,欠阻尼。,2-2 系统时域描述-微分方程、传输算子、系统框图、h(t),一、微积分方程：,二、传输算子 1、微分算子,回路
3、1：,回路2：,2、算子形式的方程及电路模型,有,2、算子形式的方程及电路模型,为算子形式的感抗,为算子形式的容抗,由算子形式的电路，可以用KCL、KVL、节点法、回路法等列方程求解某支路的电压和电流。,3、传输算子,设：,则：,传输算子,传输算子,对于n阶系统：,D(p)为微分方程的特征多项式， D(p)0的根为系统的 自然频率。,传输算子可表示为两个p的多项式之比：,4、利用传输算子写出微分方程,注意：传输算子的分母为齐次微分方程的特征多项式，D(p)=0的根是微分方程的特征根，是系统的自然频率。分母的阶次为电路的阶数。,例：求传输算子：,并写出关于u2 的微分方程。,解：,三、模拟框图：
4、 由模拟单元组 成系统功能框图,模拟框图H(p),零状态,四、自然频率,1、定义：系统对应特征方程的根称为自然频率或固有频率。 系统固有参数，与激励无关。,2、意义：反映系统时域特性。,2-3 连续系统时域经典分析,一、微分方程经典解法,齐次方程通解,非齐次方程特解,齐次解：,特征方程：,1）自然频率全部为单根：,2）自然频率含重根： p1=p2=pr，其余单根,特解：,特解的形式与激励形式有关。由激励形式设出特解，代入微分方程求特解的待定系数。,1、方程右边为AU(t)，特解为,2、方程左边最高阶导数为n，右边为,，当,时，,通解形式与齐次解形式相同。,3、方程左边最高阶导数为n，右边为,当
5、,时，,特解为,代入初始条件（初始值），确定齐次解的待定系数。,二、由初始状态（0-）确定初始值（0+）,1、电路,根据换路定理、电荷守恒定理、磁链守恒定理，由初始状态求出系统的初始值。,2、由微分方程确定0+时刻的状态-初始条件,状态（0-）到状态（0+）跳变与否取决于方程右边是否有冲激和它的各阶导数。有两种方法：,方程右边无冲激和它的各阶导数，如U(t)，系统的由状态（0-）到状态（0+）不会发生跳变。如二阶系统：,（1）冲激函数匹配法：,设：,代入：,得：,一阶系统：,有：,n阶系统有：,0-到0+相对单位跳变,（2）作0-0+积分(方程右边最高为冲激，否则积分后有多个未知量),适用于n
6、阶系统当,在0-到0+不含冲激时。积分后只有一个待求量,例1：,已知,求,解：,在0时刻含有冲激。,在0时刻发生跳变。,在0时刻连续。,例2：图示电路， 已知： i1(0-) =1A， i2(0-)=2A ； f(t) =6U(t) . 求 i2(t) 。,解：,=2,=-3,由0+电路求得,用传输算子法求出,例3：已知LTI系统微分方程为：,求当激励为f(t) =U(t) 时的零状态响应 y(t) 。,解：,代入激励,在0时刻含有冲激。,在0时刻发生跳变。,在0时刻连续。,得,y(t)通解,自然频率为,代入初始条件，得,零状态响应为,2-4 零输入响应和零状态响应,经典法把全响应分解成自由响
7、应和强迫响应。,全响应的另一种分解，全响应等于零输入响应和零状态响应 之和,一、零输入响应,零输入响应形式上与微分方程齐次解完全相同，待定系数不同。,初始条件的确定：,对于n阶系统：,二、零状态响应,系统状态为零时齐次方程的解。求解方法可以用经典法。,例1：某LTI系统的微分方程为,已知,求零状态响应和零输入响应。,解：（1）零输入响应,自然频率：p1= -1，p2=-2,（2）零状态响应,含冲激，,发生跃变，,在t=0处连续。,特解：,零状态响应：,例2：某LTI系统的微分方程为,若f(t)=U(t)，求系统的零状态响应。,解：方程右边只有f(t) 时系统的零状态响应为,在t=0处连续，有,
8、特解为,y(t)中含有(t) 不能用稳态解作特解,由微分性和线性性：,一、单位阶跃响应,2-5 连续时不变系统阶跃响应与冲激响应 两个重要的响应,求解方法： 一阶电路：三要素法 高阶（电路）系统：经典法,例1：已知描述某系统的微分方程为,求f(t)=U(t)时的零状态响应y(t)。,激励为单位阶跃信号时系统的零状态响应.,解：经典法,含冲激，,发生跃变，,在t=0处连续。,特解：,通解：,自然频率：,阶跃响应的另一种求法： 对单位冲激响应积分。,二、单位冲激响应,激励为单位冲激信号时系统的零状态响应。,例1：求冲激响应i。 解：1、求阶跃响应i(t)=g(t)；,2、求冲激响应,1）阶跃响应法
9、,2） 等效初始值法,（1）单个元件等效初值：,等效初始值: uc (o+) =A/C,iL (o+) =A/L,等效初始值:,（2）冲激作用下等效初始值求法,则 uc (o+) =A/C,(a)在t=0时将电容短路，求其冲激电流,ic =At,原电路，求i(t),(b) 在t=0时将电感开路，求其冲激电压,uL =Bt,则 iL (o+) =B/L,求出独立电容电压或独立电感电流，再借助它们求其它量。,原电路，求u(t),+,_,解：,练习2: 图示电路， i1 (o-) = i2 (o-) =0，求iL1 (o+) 、 iL2 (o+) 和i (o+) 。,练习1：图示电路，求u和i。,在
10、t=0时将电容短路，有,i =0.5t,则 u (o+) =A/C=1/6V,解：,在t=0时将电感开路，有,uL1 =3t,uL2 =0,则 iL1 (o+) =B/L=3/2A,iL2 (o+) =0,i (o+) =3/2A,例： 已知描述某系统的微分方程如下，求f(t)=(t)时的零状态 响应h(t)。,解：,3) 经典法-设出正确的h(t)的通解形式,系统自然频率为,冲激激励作用是瞬间给系统输入了能量， t 0时激励为零，单位冲激响应形式与零输入响应形式相同（对于该例），即,另法：等效初值法。确定初始条件：,含冲激，,发生跃变，,在t=0处连续。,该例方程右边不含(t)的各阶导数。如
11、果有(t)的导数，用系统的线性性和微分性求h(t)。,可以直接带入方程确定系数,只要nm，冲激响应形式与零输入响应形式相同,4）部分分式法,传输算子:,特征方程：,a）当nm，且特征根均为单根时：,将H(p)展开成部分分式：,求hn(t)：,b）当nm，特征根有重根时：,b-1、H(p)展成部分分式方法,含一个三重根,b-2、冲激响应的形式,P1为r重根：,其它形式：,c）当n=m时，特征根为单根：,先用长除法，再展开成部分分式：,此时，h(t)中含有冲激信号,d）当nm时，特征根为单根：,同样先用长除法，再展开成部分分式：,求f(t)=(t)时的零状态响应h(t)。,例1：已知描述某系统的微
12、分方程为,答：,例2：已知描述系统的传输算子为：,求系统单位冲激响应h(t)，,答：,求f(t)=(t)时的零状态h(t)。,例3：已知描述某系统的微分方程为,答：,2-6 连续系统时域卷积积分分析法,一、卷积:,1、定义：,2、几何意义：（深刻理解）,二、连续时不变系统零状态响应,有： yf (t)=f(t)*h(t),(t),h(t),(t-) h(t-) f()(t-) f()h(t-),f(t),yf(t),结论：信号f(t)作用于连续时不变系统后的零状态响应yf (t)等于 该信号与系统的单位冲激响应的卷积。,连续变量,任意连续时间信号可 分解为冲激信号的连续和。,设第k个右图所示脉
13、冲单独作用响应为,由线性性和时不变性，零状态响应为,(t-)的响应,三、常用信号的卷积积分,3、f (t)与阶跃信号卷积,1、f (t)与冲激信号卷积,2、f (t)与冲激偶信号卷积,4、常数与f (t)卷积,5、斜坡信号与阶跃信号卷积,6、时移性,四、卷积积分的性质,（一）运算性质,1、交换律,2、分配律,3、结合律,（二）微分积分性质,2、积分性,1、微分性,3、微积分性,证： （1）,说明：,（2）,如：,说明：,存在,存在,（3）,因为：,所以：,存在,同理：,如果：,或：,则：,性质3条件：,或：,则：,或：,则：,存在,若,且不存在第二类间断点，卷积存在，且三个性质都成立。,存在,
14、都为有始信号，,五、卷积积分的计算,例1：f(t)=tU(t) ， h(t)=U(t)-U(t-2)，求卷积积分y(t)=f(t)*h(t)。,1利用定义计算,=tU(t) *U(t)-U(t-2),2. 利用常用信号卷积与有关性质计算,解：,y(t)=f(t)*h(t),=tU(t) *U(t)- tU(t) *U(t-2),例2：求卷积积分y(t)=e-t U(t)*U(t)。,解：,3. 利用卷积积分表计算,4. 利用图解法计算,1）f(t)、h(t) f()、h() 2） h() h(-) （折叠） 3） h(-) h(t-) （平移） 4） f() h(t-) （相乘） 5）计算积分
15、,5. 利用数值积分法计算,y(t)=e-t U(t)*U(t),=（1-e-t ）U(t),（教材49页表2-3）,卷积积分图解法:,当t-1,当-1t1,当t1,t-3-1 即1t2,当-1t-31 即2t4,当t-31 即t4,例1：若 h1(t) = U(t)， h2(t) = (t-T)， h3(t) = - (t)， 求h(t) 。,解：,例2： 求y(t)= f (t) * h(t)，其中 ：h (t) = U(t+1)-U (t-1)，,解：,六、利用卷积积分求系统的零状态响应,解：,1. 列写KVL方程：,2. 冲激响应为：,例3:图示电路，求零状态响应i(t)。已知,例4：
16、图示电路，已知 f(t)=e-t U(t)A；求 t0时 uf(t)。,解：,例5：已知 LTI因果系统 f(t)=sintU(t)，零状态响应为：,求冲激响应h(t)。求反卷积,解：,例6：用图解法求y(t)=f(t)*h(t)。其中,解：,当t0：,当0t7：,当t7：,或利用卷积性质：,例7：用图解法求y(t)=f1(t)* f2(t)。,解：,解：,附：LTI系统的因果性和稳定性的时域判定：,1、因果性（对于LTI系统，响应出现在激励之后）,连续LTI系统具有因果性的充分必要条件是：,证明：,充分性：,若：,则零状态响应：,，对于：,的因果信号激励，,即：,必要性：,若：,，对于：,因果信号激励，,则零状态响应：,即：,2、稳定性（有界激励产生有界响应）,连续LTI系统具有稳定性的充分必要条件是：,单位冲激响应绝对可积。,证明：,若
