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1、函数的单调性,中国在近七届奥运会上获得的金牌数,德国著名心理学家艾宾浩斯的研究数据,1,x,y,o,x,观察下列函数的图象，回答当自变量 的值增大时,函数值 是如何变化的？,0,y,1,1,2,4,-1,-2,-1,1,(-,0上当x增大时f(x)随着减小,x,y,o,-1,x,O,y,1,1,2,4,-1,-2,1,当x增大时f(x)随着增大,函数在R上是增函数,函数在(-,0上是减函数,(0,+)上当x增大时f(x)随着增大,函数在(0,+)上是增函数,1,函数 f(x)=x2 :,x12,x22,x,0,x1,x2,y,f (x1),f (x2),在(0,+)上任取 x1、x2 ,如果对
2、于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.,一般地，设函数 f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,某个区间D,某个区间D,在(-,0)上是_函数,在(0,+)上是_函数,减,减,反比例函数 ：,-2,y,O,x,-1,1,-1,1,2,在(-,0)上是_函数,在(0,+)上是_函数,减,减,函数 ：,y,O,x,在 (0,+) 上任取 x1、 x2 当x1
3、x2时，都有f(x1) f(x2),y,O,x,-1,1,-1,1,取自变量1 1， 而 f(1) f(1),如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.,一般地，设函数 f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数f(x)的单调区间.,解:
4、函数y=f(x)的单调区间有5,2）,2,1) ，1，3), 3，5.,逗号 隔开,例1. 如图是定义在闭区间5,5上的函数 y = f(x)的图象, 根据图象说出函数的单调区间, 以及在每一单调区间上, 函数是增函数还是减函数？,其中y=f(x)在区间2，1)，3，5上是增函数；,说明:孤立的点没有单调性,故区间端点处若有定义写开写闭均可.,y,y,Y=2x+1,增区间为,增区间为,增区间为,减区间为,减区间为,练习：,写出函数的单调区间,证明函数 在R上是减函数.,即,例2.利用定义：,证明：设 是R上任意两个值，且 ，,则,4.下结论:由定义得出函数的单调性.,1.设值:设任意x1、x2
5、属于给定区间,且x1 x2,2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形；,3.判断差符号:确定f(x1)-f(x2)的正负；,证明函数单调性的步骤：,证明函数 在区间(0,+)上是增函数,证:设 是(0,+)上任意两个值且,即,在区间(0,+)上是增函数,设值,作差变形,判断差符号,下结论,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.,一般地，设函数 f(x)的定义域为I:,如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x1 、x2 ，当 x1x2时，都有f(x1)f(x2)
6、，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.,3.(定义法)证明函数单调性的步骤:,2.图象法判断函数的单调性：,1. 增函数、减函数的定义；,上升,下降,4判断函数单调性的常见方法： (1)定义法 (2)直接法 运用已知的结论，直接得到函数的单调性，如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出，直接判断函数的单调性，常用到以下结论： 函数yf(x)与函数yf(x)的单调性相反 函数f(x)恒为正或恒为负时，函数y 与yf(x)的单调性相反 在公共区间内，增函数增函数增函数，减函数减函数减函数等 (3)图象法 根据函数图象的升、降情况进行判断,如何确定函数,的单调区间？,思考题：,O,x,分析和函数 的图象,2,2,4,4,6,6,8,8,5,1,3,7,猜测：,单调递减区间：,1，2,单调递增区间：,2，5,y,证明：,确定函数,的单调区间.,减：1,2,增：2,5,
