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1、第三章,力偶系,Chapter Three,System of Couples,3.1 力对点之矩,3.4 力偶及其性质,本章内容小结,本章基本要求,3.2 力对轴之矩,3.3 力系的主矢和主矩,3.5 力偶系的合成与平衡,深刻理解力对点之矩的概念和力对轴之矩的概念，并要求熟练计算。,正确理解力系的主矢和主矩的概念。,能熟练地应用力偶系平衡条件求解力偶系的平衡问题。,本 章 基 本 要 求,正确理解力偶的概念和性质。,i i = 1 j j = 1 k k = 1,i j = 0 j k = 0 k i = 0,A B = C,i i = 0 j j = 0 k k = 0,i j = k j
2、 k = i k i = j,A,B,C,F,d,力对刚体的转动效应的度量。,3.1 力对点之矩,F,d,转向,大小,逆时针转向为正。,代数量,单位N m kN m,1. 平面问题中力对点的矩,飞机水平和垂直尾翼的主要作用,2. 空间问题中力对点的矩,2. 空间问题中力对点的矩,力使物体绕 O 点转动的效果决定于？,F,d,转向,力矩作用面的方位,三要素,力矩的大小,r,力对点O 的矩等于矢径 r 与力F 的矢积。,定义,r,A,定位矢量,大小、方向、矩心,力矩矢,垂直于 r 与 F 所确定的平面,指向用右手定则。,d,r,A,r = x i + y j + z k,r,=,( x i + y
3、 j + z k ),=,i j k,x y z,解析表示,=,=,=,长方体，上下底为正方形，边长 ，高a，力大小F ；求力 F 对点O矩矢 。,a,解：,r,3. 力对点的矩的基本性质,力对点之矩矢服从矢量的合成法则。,4. 合力矩定理,当一空间力系与一合力等效时，空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点的矩之矢量和。,Fn,Fn,d,图示圆柱直齿轮，受到啮合力 Fn 的作用。试计算力 Fn 对于轴心 O 的力矩。,例 题 1,解：,已知力 F 的作用点 A 的坐标为 x 和 y ,试计算力 F 对于 坐标原点 O 的矩。,解：,动脑又动笔,d,3.2 力对轴之矩,力对轴之矩是力对
4、刚体所产生的绕该轴转动效应的度量。,1. 力对轴之矩的概念,k,代数量；,按右手定则来确定正负号。, 当力与轴相交时；, 当力与轴平行时；,单位N m kN m,2. 力对点之矩与力对轴之矩的关系,A,F,r,=, k,力对点之矩在过该点的轴上的投影等于力对该轴之矩。,结论,力系的主矢和主矩的概念, 力系的主矢,定义 一般力系中所有力的矢量和。,3.3 力系的主矢和主矩,主矢 = 合力,大小，方向，自由矢量,大小，方向，作用线,分析和讨论,a. 几何法,多边形法则,b. 解析法, 力系的主矩,定义 力系中所有力对同一点之矩的矢量和，称为力系对这一点的主矩。,=,=,解析法, 主矢 = 0 ,
5、主矩 0, 主矢 0 , 主矩 0, 主矢 0 , 主矩 = 0, 主矢 = 0 , 主矩 = 0,分析和讨论,力系等效定理,两个不同力系等效的充分必要条件是主矢相等，且对同一点的主矩相等。,推论,力系平衡的充分必要条件,主矢 = 0 ，对任意点的主矩 = 0,3.4 力偶及其性质,1. 力偶的定义,两个大小相等，作用线不重合的反向平行力所组成的力系，称为力偶。,（ F , F ）,d,F,F,力偶的作用面,2. 力偶的基本性质, 0, 力偶的主矢 0, 力偶不能与一个力等效（即力偶没有合力），因此也不能与一个力平衡。力偶是最基本、最简单的力系。,F, 0,思考：如图所示结构，力偶引起的支座反
6、力是否相等？,F = F,力偶对刚体的作用效应,力偶三要素, 力偶的转向,F d,力偶矩的大小, 力偶的作用面,d,3. 力偶矩矢量,大小,方向, 力偶作用面，指向按右手定则表示力偶的转向。,自由矢量,定义 ：,M 代数量,平面力偶矩,M,M = F d,转向,大小,+,4. 力偶等效变换的性质, 力偶可在作用面内任意转动和移动；, 力偶的作用面可任意平移；, 只要保持力偶矩不变，可任意改变力偶中的力的大小和力偶臂的长短。,只要保持力偶矩矢量不变，不会改变力偶对刚体的作用效应。,1. 力与力偶有什么不同？,2. 力偶的合力等于零？,3. 力矩与力偶矩有什么异同？,4.试分析这一试验结果是否与力
7、偶性质矛盾？,分析和讨论,1. 力偶等效条件,若两个力偶的力偶矩矢相等，则两力偶等效。,3.5 力偶系的合成与平衡,力偶矩矢,合力偶,(代数量),一个合力偶,简化结果,2 . 力偶系的合成, 平板保持平衡；, 平板不能平衡；, 平衡与否不能判断。,分析和讨论,3. 力偶系的平衡条件,M = 0,空间力偶系平衡的必要充分条件是合力偶矩矢等于零，即力偶系各力偶矩矢的矢量和等于零。,平衡方程,平面力偶系的平衡方程,M = 0,刚体是否平衡 ？,想一想,既然力偶不能与一力相平衡，为什么图中的圆轮又能平衡呢 ?,一简支梁作用一力偶矩为 M 的力偶 ，不计梁重，求二支座约束力。（ AB = d ）,解：以
8、梁为研究对象。,因为力偶只能与力偶平衡 ，,所以 FA = FB = M / d,FA,FB,例 题 1,FA = FB,又 M = 0,即 M + FAd = 0,所以,如图所示的工件上作用有三个力偶。已知三个力偶的矩分别为：M1 = M2 =10 N.m， M3 = 20 N.m；固定螺柱 A 和 B 的距离 l = 200 mm 。求两个光滑螺柱所受的水平力。,FA = FB,解：,M = 0 ，,例 题 2,FA lM1 M2 M3 = 0,FA,FB,选工件为研究对象,FA = FB = 200 N,列平衡方程：,横梁 AB 长 l ，A 端用铰链杆支撑，B 端为铰支座。梁上受到一力
9、偶的作用，其力偶矩为 M ，如图所示。不计梁和支杆的自重，求 A 和 B 端的约束力。,动脑又动笔,选梁AB为研究对象,解：,列平衡方程：,FA = FB,FA,FB,M = 0 ，,M FA l cos45o = 0,动脑又动笔,如图所示的铰接四连杆机构 OABD，在杆 OA 和 BD 上分别作用着矩为 M1 和 M2 的力偶，而使机构在图示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，= 30，不计杆重，试求 M1 和 M2 间的关系。,动脑又动笔,写出平衡方程： M = 0,FD,FBA,FO,FAB,解：,分别取杆 OA 和 DB 为研究对象。,FAB = FBA,M1 FAB r
10、cos = 0, M2+ 2FBA r cos = 0,动脑又动笔,例 题 3,工件如图所示，它的四个面上同时钻五个孔，每个孔所受的切削力偶矩均为 80 Nm 。求工件所受合力偶的矩在 x，y，z 轴上的投影 Mx ，My ，Mz ，并求合力偶矩矢的大小和方向。,例 题 3,将作用在四个面上的力偶用力偶矩矢表示，并平移到A点。,解：,A,例 题 3,Mx = Mx = M3 M4 cos 45o M5 cos 45o = 193.1 Nm,My = My = M2 = 80 Nm,Mz= Mz = M1 M4 cos 45o M5 cos 45o = 193.1 Nm,= 284.6 Nm,图
11、示的三角柱刚体是正方体的一半。在其中三个侧面各自作用着一个力偶。已知力偶（F1 ，F 1）的矩 M 1 = 20 Nm；力偶（F2， F 2 ）的矩 M 2 = 20 Nm；力偶（F3 ，F 3）的矩 M 3 = 20 Nm。试求合力偶矩矢 M 。又问使这个刚体平衡，还需要施加怎样一个力偶。,例 题 4,1.画出各力偶矩矢。,例 题 4,解：,2.合力偶矩矢 M 的投影。,Mx = Mx = M1x + M2x + M3x = 0,My = My = M1y + M2y + M3y = 11.2 Nm,Mz = Mz = M1z + M2z + M3z = 41.2 Nm,3.合力偶矩矢 M 的大小和方向。,为使这个刚体平衡，需加一力偶，其力偶矩矢为,例 题 4,M,4. 由 M = 0,= 42.7 Nm,(M, i) = 90 o,(M, j) = 74.8 o,(M, k) = 15.2 o,M4 = M,力偶系,本章内容小结,基本概念,力对点的矩,力对轴的矩,主矢,主矩,力偶,力偶矩矢量,力系等效定理,力系平衡条件,合力矩定理,力矩关系定理,基本定理,力偶等效条件,力偶系平衡条件,基本方法,力对点的矩计算,力偶矩矢计算,平衡方程的应用,力对轴的矩计算,主矢的计算,主矩的计算,基本矢量,力矩矢,主矢,主矩,力偶矩矢量,本章内容结束,谢谢大家,
