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1、可微，则有,一、第一换元法,第一换元法,（将某函数表达式作为新的自变量）,例1、求,解：原式,例1、求,解：原式,一般地,解：原式,解：,解：原式,新变量的引进能使问题清晰化,说出下列各式应如何凑微分,例2 、求,解：,例2 、求,解：,练习：求,解：原式,例3、求,解：,练习：求,解：,3、求,解：原式,例4、求,解：原式,练习：求,解：原式,例5、求,解：（法一）,恒等变形，使分子产生自变量表达式的导数，再凑微分,原式,例5、求,解（法二）,换元,原式,练习：求,解：原式,类似地可得,例6、 求,解：原式,练习：求,解：原式,例7、求,解：原式,原式,二式相加得,例8、求,解：原式,当被积
2、函数分子是弦函数的奇次方时，先凑微分,一般地,当被积函数分子是弦函数的偶次方时，先降次,解:（一）,例8、设,解: (二),解:,练习：设,等式两端对同一个变量求积分或求微分，结果仍是等式,二、第二换元法,由复合函数求导法则，有积分等式,第一换元法是将某函数式作为新的自变量；,第二换元法是将原积分变量用某函数式取代；,第二换元公式,而,时。,（变量还原）,例 1、求,解：,一般地,练习： 求,解：,令,一般地,n 为各根指数的最小公倍数,第二换元法多用于去根号，,例2、 求,根号去不掉，,寻找不含根号的函数,例2、 求,解：,令,x 取遍定义域且单调,练习：求,解：,令,练习：求,解：,令,练
3、习：求,解：,令,去除二次式的二次根号，借助的是三角代换，,一般地：,令,令,令,例3、求,解：令,去除二次根式并非一定要用三角代换。,解：令,原式,三角代换也可用于非根式函数的积分,例4、求,解：令,例、求,解：令,当分母的阶较高时, 可采用倒代换,由例3,例、求,解：令,补充积分公式 ,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）根式代换、三角代换、倒代换,补充积分公式,思考题,求积分,答案,练 习 题 五（2）,一、填空题,1、若,则,2、求,时，可作x = _变换；,3、求,时，可作x = _变换；,答案,二、求下列不定积分：,思考题解答,练习题五（2）答案,一、,二、求下列不定积分：,
