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1、第四章 周期信号的傅里叶级数表示,连续周期信号的频域分析,离散周期信号的频域分析,常见连续时间周期信号的频谱,常见离散时间周期信号的频谱,将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合,(1) 从信号分析的角度，将信号表示为不同频率正弦分量的线性组合，为不同信号之间进行比较提供了途径。,(2) 从系统分析角度，已知单频正弦信号激励下的响应，利用迭加特性可求得多个不同频率正弦信号同时激励下的总响应，而且每个正弦分量通过系统后，是衰减还是增强一目了然。,意义：,周期信号的频域分析,连续时间周期信号的频域分析,连续时间周期信号的傅立叶级数表示,连续时间周期信号的频谱及其特点,连续时间傅里叶级数的基本性质,连
2、续时间周期信号的功率谱,傅立叶的两个最主要的贡献,“周期信号都？可表示为成谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点 “非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点,1. 周期信号展开为傅立叶级数条件 周期信号fT(t)应满足 Dirichlet条件，即： (1) 绝对可积，即满足 (2) 在一个周期内只有有限个不连续点； (3) 在一个周期内只有有限个极大值和极小值。,傅立叶级数收敛条件,注意：条件（1） 为充分条件但不是必要条件； 条件（2）（3）是必要条件但不是充分条件。,狄里赫利,一、连续时间周期信号的傅立叶级数表示,2. 指数形式傅立叶级数,连续时间周期信号
3、可以用指数形式傅立叶级数表示为,其中,（傅立叶系数）,n=k,n不等于k,2. 指数形式傅立叶级数,连续时间周期信号可以用指数形式傅立叶级数表示为,其中,两项的基波频率为f0，两项合起来称为信号的基波分量,的基波频率为2f0，两项合起来称为信号的2次谐波分量,的基波频率为Nf0，两项合起来称为信号的N次谐波分量,物理含义：周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和。,（傅立叶系数）,连续时间傅里叶级数对：,综合公式 （反变换）,分析公式 （正变换）,称为傅里叶系数或频谱系数,若 f (t)为实函数，则有,利用这个性质可以将指数Fourier级数表示写为,令,由于C0是实的，所以b0=0，
4、故,3. 三角形式傅立叶级数,由此可以推出：,傅里叶系数,连续时间周期信号三角形式傅立叶级数为：,三角形式傅立叶级数,纯余弦形式傅立叶级数,称为信号的直流分量， An cos(n0+ n)称为信号的n次谐波分量。,其中,解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件， 必然存在傅里叶级数展开式。,因此，周期方波信号的指数形式傅里叶级数展开式为,例题1 试计算图示周期矩形脉冲信号的傅立叶级数展开式。,可得，周期方波信号的三角形式傅立叶级数展开式为,若=T/2，则有,由,例2 试计算图示周期三角脉冲信号的傅立叶级数展开式。,解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在,例2
5、 试计算图示周期三角脉冲信号的傅里叶级数展开式。,解: 该周期信号f (t)显然满足狄里赫勒的三个条件，Cn存在,周期三角脉冲信号的三角形式傅立叶级数展开式为,由,周期三角脉冲信号的指数形式傅立叶级数展开式为,例3 求 Cn 。,解:,根据指数形式傅里叶级数的定义可得,1. 线性特性,2. 时移特性,二、傅里叶级数的基本性质,Why？,注意：强调f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号,证明：,令x= t-t0，则dx=dt，代入上式可得,3.卷积性质（重点）,(1)若f(t)为实信号,若f1(t)和f2(t)均是周期为T0的周期信号，且,4. 微分特性,5. 对称特性,5. 对称特性,
6、(2) 纵轴对称信号（偶对称）fT(t)=fT(-t),纵轴对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有直流项与余弦项。,(3) 原点对称信号（奇对称）fT(t)=-fT(-t),原点对称周期信号其傅立叶级数展开式中只含有正弦项。,(4) 半波重迭信号fT(t)=f(tT/2),半波重叠周期信号只含有正弦与余弦的偶次谐波分量，而无奇次谐波分量。,(5) 半波镜像信号fT(t)=-f(tT/2),半波镜像周期信号只含有正弦与余弦的奇次谐波分量，而无直流分量与偶次谐波分量。,去掉直流分量后，,信号呈奇对称，只含有正弦各次谐波分量。,因此该信号含有正弦各次谐波分量，直流分量。,说明：某些信号波形经上下或左
7、右平移后，才呈现出某种对称特性,例4 求图示周期信号f(t)的傅里叶级数,f (t) = f1(t) - f2(t),说明：某些信号波形经上下或左右平移后，才呈现出某种对称特性，也有某些信号波形可以由我们熟悉的基本信号的波形进行简单的计算得到。因此，我们可以利用傅里叶性质简化傅里叶级数的计算。教材P147例3.6、例3.7,三、 周期信号的频谱及其特点,周期信号f(t)可以分解为不同频率虚指数信号之和,Cn是频率的函数，它反映了组成信号各正弦谐波的幅度和相位随频率变化的规律，称频谱函数。,不同的时域信号，只是傅里叶级数的系数Cn不同，因此通过研究傅里叶级数的系数Cn来研究信号的特性。,1、频谱
8、的概念,从广义上说，信号的某种特征量随信号频率变化的关系，称为信号的频谱，所画出的图形称为信号的频谱图。 周期信号的频谱是指周期信号中各次谐波幅值、相位随频率的变化关系，即将Cn和n的关系分别画在以为横轴的平面上得到的两个图，分别称为振幅频谱图和相位频谱图。因为n0，所以称这种频谱为单边谱。 也可画|Cn|和n的关系，称为双边谱。若Cn为实数，也可直接在一幅图中画出Cn 。,2、频谱的表示,直接画出信号各次谐波对应的An、 Cn 线状分布图形，这种图形称为信号的频谱图。,幅频特性,相频特性,幅度频谱 （幅度谱）,称为：,相位频谱 （相位谱）,周期函数的频谱：,周期信号的谱线只出现在基波频率的整
9、数倍的频率处（线谱）。直观看出：各分量的大小，各分量的频移，,Cn,例1 周期矩形脉冲信号的频谱图,例2 已知连续周期信号的频谱如图，试写出实数形式的Fourier级数。,解：,由图可知,例3：周期信号f(t) = 试求该周期信号的基波周期T，基波角频率，画出它的单边频谱图。 解：首先应用三角公式改写f(t)的表达式，即 显然1是该信号的直流分量。 ,3频谱的特性 (见教材P130图4-11）,(1)离散频谱特性,周期信号的频谱是由 间隔为0的谱线组成,信号周期T越大，0就越小，则谱线越密。反之，T越小，0越大，谱线则越疏。,3频谱的特性,当周期信号的幅度频谱 随着谐波nw0增大 时，幅度频谱
10、|Cn|不断衰减，并最终趋于零。,(2)幅度衰减特性,(3)信号的有效带宽,02 / 这段频率范围称为周期矩形脉冲信号的有效频带宽度,即,信号的有效带宽与信号时域的持续时间成反比。 即 越大，其B越小；反之， 越小，其B越大。,物理意义：若信号丢失有效带宽以外的谐波成分，不会对信号产生明显影响。,说明：当信号通过系统时，信号与系统的有效带宽 必须“匹配”。,4.相位谱的作用,幅频不变，零相位,幅频为常数，相位不变,相位谱对信号中急剧变化点的位置起着重要作用。如果重建信号的时候忽略相位谱，重建信号就会模糊或失去信号原有的特征。,四、周期信号的功率谱,周期信号属于功率信号，周期信号f(t)在1欧姆
11、电阻上消耗的平均功率为：,由下面关系可以推导出，帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理：,四、周期信号的功率谱,物理意义：任意周期信号的平均功率等于信号所包含的直流、基波以及各次谐波的平均功率之和。,周期信号的功率频谱： |Cn|2 随nw0 分布情况称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。,帕什瓦尔(Parseval)功率守恒定理,例4 试求周期矩形脉冲信号在其有效带宽(02p/t)内谐波分量所具有的平均功率占整个信号平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，=1/20。,解 周期矩形脉冲的傅立叶系数为,将A=1，T=1/4，=1/20，w0=2p/T=8p 代入上式,功率谱,信号的平均功率为
12、,包含在有效带宽(02p/t)内的各谐波平均功率为,周期矩形脉冲信号包含在有效带宽内的各谐波平均功率之和占整个信号平均功率的90%。,例5,求f (t)的功率。,解：,1),2),吉伯斯现象,用有限次谐波分量来近似原信号，在不连续点 出现过冲，过冲峰值不随谐波分量增加而减少， 且 为跳变值的9% 。,吉伯斯现象产生原因,时间信号存在跳变破坏了信号的收敛性，使得 在间断点傅里叶级数出现非一致收敛。,N=5,N=15,N=50,N=500,连续周期信号的频域分析小结,分析问题使用的数学工具为傅里叶级数 最重要概念：频谱函数 要点 1. 频谱的定义、物理意义 2. 频谱的特点 3. 频谱的性质，应用
13、性质分析复杂信号的频谱 4. 功率谱的概念及在工程中的应用,离散时间周期信号的傅里叶级数表示,周期为N的离散周期信号xn表示如下：,使得上式成立的最小整数N，称为基波周期。基波频率为 。,周期为N的离散时间复指数周期信号的集合， 可以表示为：,一般的周期序列可以用 的线性组合来表示为：,一个周期复指数序列的值在整个一个周期内求和，除非该复指数是某一常数，否则，其和为零。表示为：,离散时间傅里叶级数对：,综合公式,分析公式,称为傅里叶系数或频谱系数,注意：下标n=和k=，书中对不对？,P152 例3.10 考虑信号为 该信号仅当 是一个整数，或是一个整数比时，xn才是周期的。 当 是一个整数N，
14、即 其基波周期为N，把信号展开为两个复指数信号之和，就得,建议同学多看国外电子与通信教材系列 ，先看翻译版，再看英文硬印版,国外电子与通信教材系列： 数字集成电路电路、系统与设计（第二版） (4小时出库)Digital Integrated Circuits:A Design Perspective,Second Edition 作者: （美）JAN M.RABAEY,ANANTHA CHANDRAKASAN,BORIVOJE NIKOLIC 译者：周润德市场价: ￥58.00 数字集成电路设计透视（影印版第2版） (4小时出库)Digital Integrated Circuits A De
15、sign Perspective(Senond Edition) 作者: JAN M.RABAEY,ANANTHA CHANDRAKASAN,BORIVOJE NIKOLIC 市场价: ￥68.00,集成电路版图基础（英文影印版） (4小时出库)IC Layout Basics:A Practical Guide 作者: CHRISTOPHER SAINT,JUDY SAINT 市场价: ￥45.00,模拟CMOS集成电路设计（英文影印版） (4小时出库)Design of Analog CMOS Integrated Circuits 作者: （美）BEHZAD RAZAVI 市场价: ￥68.00,CMOS模拟集成电路设计（第二版） (4小时出库)CMOS Analog Circuit Design,Second Edition 作者: （美）PHILLIP E.ALLEN,DOUGLAS R.HOLBERG 译者：冯军 李智群市场价: ￥65.00,VERILOG HDL数字设计与综合（第二版） (4小时出库)Verilog HDL: A Guide to Digital Design and Synthesis, Second Edition 作者: （美）SAMIR PALNITKAR 译者：夏宇闻 胡燕祥 刁岚松市场价: ￥29.00,
