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1、第三章 平面与空间直线,主要内容 1、平面的方程 2、平面与点的相关位置 3、两平面的相关位置 4、空间直线的方程 5、直线与平面的相关位置 6、空间直线与点的相关位置 7、空间两直线的相关位置 8、平面束,第一节 平面及其方程,一、由平面上一点与平面的方位向量决定的平面的方程,1、方位向量,在空间给定一个点M0与两个不共线的向量a,b，则 通过点M0且与a,b平行的平面就被唯一确定。向量a, b称为平面的方位向量。,显然，任何一对与平面平行的不共线向量都可作 为平面的方位向量。,2、平面的向量式参数方程,又因为,所以,r-r0= ua+vb,即,r=r0+ ua+vb （1）,方程（1）称为
2、平面的向量式参数方程。,显然,例1、已知不共线的三点M1(x1,y1,z1),M2(x2,y2,z2), M3(x3,y3,z3),求过这三点的平面的方程。,解：,因此，平面的向量式参数方程为,r=r1+u(r2-r1)+v(r3-r1) (3),坐标式参数方程为,从（3），（4）中分别消去参数u,v可得：,（r-r1,r2-r1,r3-r1)=0 （5）,与,或,（5）（6）（7）都有叫做平面的三点式方程。,特别地，若平面与三坐标轴的交点分别 为M1(a,0,0) M2(0,b,0),M3(0,0,c),其中abc0,则平面的方程为,称为平面的截距式方程。 其中a,b,c分别称为平面在 三坐
3、标轴上的截距。,如果一非零向量垂直于一平面，这向量就叫做该平面的法向量,法向量的特征：,垂直于平面内的任一向量,二、平面的点法式方程,1. 法向量:,注: 1 对平面, 法向量n不唯一;,2 平面 的法向量n与 上任一向量垂直.,2. 平面的点法式方程,设平面过定点 M0(x0, y0, z0), 且有法向量n=A,B, C.,得:,A(x x0) +B( y y0) +C( z z0) = 0,称方程(1) 为平面的点法式方程.,(1),例1: 求过点(2, 3, 0)且以 n = 1, 2, 3为法向量的平面的方程.,解: 根据平面的点法式方程(1), 可得平面方程为:,1 (x 2) 2
4、 (y + 3) + 3 (z 0) = 0,即: x 2y + 3z 8 = 0,解: 先找出该平面的法向量n.,= 14i + 9j k,例2: 求过三点M1(2, 1, 4), M2( 1, 3, 2)和M3(0, 2, 3) 的平面的方程.,所以, 所求平面的方程为:,14(x 2) + 9(y + 1) (z 4) = 0,即: 14x + 9y z 15 = 0,例3、已知两点M1(1,-2,3),M2(3,0,-1)，求线段的垂直 平分面的方程。,解：,又所求平面过点M1M2的中点M0(2,-1,1)，故 平面的点法式方程为,(x-2)+(y+1)-2(z-1)=0,整理得,x+
5、y-2z+1=0,三、平面的一般方程,1. 定理1: 任何x, y, z的一次方程. Ax +By +Cz +D = 0都表示平面,且此平面的一个法向量是:,n = A, B, C,证: A, B, C不能全为0, 不妨设A 0, 则方程可以化为,它表示过定点,注：一次方程: Ax + By + Cz + D = 0 (2),称为平面的一般方程.,且法向量为 n = A, B, C的平面.,例2: 已知平面过点M0(1, 2, 3), 且平行于平面2x 3y + 4z 1= 0, 求其方程.,解: 所求平面与已知平面有相同的法向量n =2 3, 4,2(x +1) 3(y 2) + 4(z 3
6、) = 0,即: 2x 3y + 4z 4 = 0,2. 平面方程的几种特殊情形,(1) 过原点的平面方程,由于O(0, 0, 0)满足方程, 所以D = 0. 于是, 过原点的平面方程为:,Ax + By + Cz = 0,(2) 平行于坐标轴的方程,考虑平行于x轴的平面Ax + By + Cz + D = 0, 它的法向量n = A, B, C与x 轴上的单位向量 i =1, 0, 0垂直, 所以,n i = A 1 + B 0 + C 0 = A = 0,于是:,平行于x 轴的平面方程是 By + Cz + D = 0;,平行于y 轴的平面方程是 Ax + Cz + D = 0;,平行于
7、z 轴的平面方程是 Ax + By + D = 0.,特别: D = 0时, 平面过坐标轴.,(3) 平行于坐标面的平面方程,平行于xOy 面的平面方程是,平行于xOz 面的平面方程是,平行于yOz 面的平面方程是.,Cz + D = 0;,By + D = 0;,Ax + D = 0,例3: 求通过x 轴和点(4, 3, 1)的平面方程.,解: 由于平面过x 轴, 所以 A = D = 0.,设所求平面的方程是 By + Cz = 0,又点(4, 3, 1)在平面上, 所以,3B C = 0,C = 3B,所求平面方程为 By 3Bz = 0,即: y 3z = 0,例4: 设平面与x, y
8、, z 轴的交点依次为P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三点, 求这平面的方程.,解: 设所求平面的方程为,Ax + By + Cz + D = 0,因P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c) 三点都在这平面上, 于是,aA + D = 0 bB + D = 0 cC + D = 0,解得:,所求平面的方程为:,即:,(3),设平面为,由所求平面与已知平面平行得,（向量平行的充要条件）,解,化简得,令,所求平面方程为,若平面上的一点 特殊地取自原点O 向平面 所引垂线的垂足， 而 的法向量取单位向量 ，设 ，那么由点 和法向量 决定
9、的平面的向量式法式方程为：,平面的坐标式方程，简称法式方程为,平面的法式方程是具有下列两个特征的一种一般方程： 一次项的系数是单位法向量的坐标，它们的平方和等于1； 因为p是原点O 到平面 的距离，所以常数,平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 与法式方程的互化,取 乘平面的一般方程 Ax+By+Cz+D=0 可得法式方程 在取定符号后叫做法式化因子,选取的符号通常与常数项 相反的符号,例 把平分面 的方程 化为法式方程， 求自原点指向平面 的单位向量及其方向余弦，并求原点到平面的距离,第二节 平面与点的相关位置,设P0(x0,y0,z0)是平面Ax+By+Cz+D=0外一点，求点 P0到
10、平面的距离。,在平面上任取一点P1(x1, y1, z1),过P0点作一法向量 n =A, B, C,于是:,又 A(x0 x1) + B(y0 y1) + C(z0 z1),= Ax0 + By0 + Cz0 + D (Ax1 + By1 + C z1 + D),= Ax0 + By0 + Cz0 + D,所以, 得点P0到平面Ax + By + Cz + D = 0的距离:,(4),例如: 求点A(1, 2, 1)到平面: x + 2y + 2z 10 = 0的距离,第三节 两平面的相关位置,1、设两个平面的方程为：,1：A1x+B1y+c1z+D1=0 (1) 2：A2x+B2y+c2z
11、+D2=0 (2),定理1：两个平面（1）与（2）,相交A1:B1:C1A2:B2:C2.,平行 ,重合 ,（1）定义,（通常取锐角）,两平面法向量之间的夹角称为两平面的夹角.,2、两平面的夹角,（2）、两个平面的交角公式,设两个平面1，2间的二面角用(1,2)表示，而两 平面的法向量n1,n2的夹角记为=(n1,n2），显然有,(1,2)=或-,因此,3、两平面垂直的充要条件,两平面(1)(2)垂直的充要条件为,A1A2+B1B2+C1C2=0,例5: 一平面通过两点M1(1, 1, 1)和M2(0, 1, 1), 且垂直于平面 x+y+z = 0, 求它的方程.,解: 设所求平面的一个法向
12、量 n =A, B, C,已知平面 x+y+z = 0的法向量 n1=1, 1, 1,于是:,A (1) + B 0 + C (2) = 0 A 1 + B 1 + C 1 = 0,解得:,B=C A= 2C,取C = 1, 得平面的一个法向量,n = 2, 1, 1,所以, 所求平面方程是,2 (x 1) + 1 (y 1) + 1 (z 1) = 0,即: 2x y z = 0,例6 研究以下各组里两平面的位置关系：,解,两平面相交，夹角,两平面平行,两平面平行但不重合,两平面平行,两平面重合.,练 习 题,练习题答案,已知直线l通过定点M0(x0,y0),且与非零矢量 v =X,Y共线，
13、求直线l的方程。,(t为随M而定的实数）,又因为,所以,r-r0=tv,（2）矢量式参数方程为,故得l的,第四节 空间直线及其方程,注1：参数t的几何意义：,当v是单位矢量时，|t|为点M与M0之间距离。,注2：直线的方向矢量：,与直线l共线的非零矢量 v 称为直线l的方向矢量。,（3）：直线的对称式方程,由直线的参数方程（2）中消去参数t可得：,对称式方程,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,1、方位向量的定义：,如果一非零向量s =m, n, p,平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方位向量,二、空间直线的对称式方程,而s 的坐标m, n,
14、p称为直线L的一组方向数.,2. 直线的对称式方程,已知直线L过M0(x0, y0, z0)点,方位向量 s =m, n, p,所以得比例式,(2),称为空间直线的对称式方程或点向式方程.,三、 空间直线的参数式方程,得:,称为空间直线的参数方程.,(3),令,方位向量的余弦称为直线的方向余弦.,例1: 写出直线,x + y + z +1 = 0 2x y + 3z + 4 = 0,的对称式方程.,解: (1) 先找出直线上的一点M0(x0, y0, z0),令z0 = 0, 代入方程组, 得,x + y +1 = 0 2x y + 4 = 0,解得:,所以, 点 在直线上.,(2) 再找直线
15、的方位向量 s .,由于平面1: x + y + z +1 = 0的法线向量n1=1, 1, 1,平面2: 2x y+3z+4 = 0的法线向量n2=2,1, 3,所以, 可取,= 4i j 3k,于是, 得直线的对称式方程:,例2: 求通过点A(2, 3, 4)与B(4, 1, 3)的直线方程.,解: 直线的方位向量可取 AB = 2, 2, 1,所以, 直线的对称式方程为,第五节 直线与平面的相关位置,设直线和平面的方程分别为,一、直线与平面的位置关系的充要条件,定理1 直线(1)与平面(2)的相互位置关系有下列的 充要条件：,1o 相交：,AX+BY+CZ0,2o 平行,3o 重合,证：
16、将直线方程改与为参数式,将（3）代入（2）并整理得,(AX+BY+CZ)t= -(Ax0+By0+Cz0+D) （4）,因此，当且仅当AX+BY+CZ0时，（4）有唯一解,这时直线与平面有唯一公共点；,当且仅当AX+BY+CZ=0，,Ax0+By0+Cz0+D0时,方程（4）无解，,这时直线与平面有没有公共点；,当且仅当AX+BY+CZ=0，,Ax0+By0+Cz0+D=0时,方程（4）有无数个解，这时直线在平面内。,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,二、直线与平面的夹角,（1）直线与平面的夹角公式,（2）直线与平面的位置关系：,/, s / n, s n,例1: 判定下列各组直线与平面的关系.,解: L的方位向量 s =2, 7, 3, 的法向量 n =4, 2, 2,s n = (2) 4 + (7) (2) + 3 (2) = 0,又M0(3, 4
