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1、第六节,第一型线积分,第一型面积分,第一型线积分与面积分,我们将把积分概念推广到积分范围为一段曲线弧或一片曲面的情形。,曲线积分,曲面积分,对弧长的曲线积分（第一型线积分）,对坐标的曲线积分（第二型线积分）,对面积的曲面积分（第一型面积分 ）,对坐标的曲面积分（第二型面积分 ）,本节讨论：,1.引例:曲线形构件的质量,分割,求和,取极限,近似值,精确值,一、对弧长的曲线积分的概念,一曲线形构件在x o y平面内所占位置是一段曲线弧L，L上任一点处的线密度(x,y)在L上连续.,计算此构件的质量.,2.定义,积分弧段,类似地可定义,注意：,存在条件：,定理,二、对弧长的曲线积分的计算法,基本思路
2、:,计算定积分,求曲线积分,注意:,特殊情形,推广:,例1,例2. 计算曲线积分,其中为螺旋线,的一段弧.,三、几何与物理意义,三、对面积的曲面积分的概念,引例: 求具有连续面密度 的曲面形构件的质量.,类似求平面薄板质量的思想, 采用,可得,“大化小, 常代变, 近似和, 求极限”,的方法,其中, 表示 n 小块曲面的直径的,最大值 (曲面的直径为其上任意两 点间距离的最大者).,定义,则对面积的曲面积分存在.即,在光滑曲面 上连续,定理, 对积分域的可加性.,则有, 线性性质.,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.,若 是分片光滑的,例如分成两,片光滑曲面,四、对面积的曲面积分的计
3、算法,1.曲面面积的计算,则,2.对面积的曲面积分的计算法,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,则曲面积分,定理: 设有光滑曲面,f (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有,则曲面积分,则,例1. 计算曲面积分,其中是球面,被平面,截出的顶部.,解:,例2. 计算,其中 是由平面,坐标面所围成的四面体的表面.,解: 设,上的部分, 则,与,原式 =,分别表示 在平面,1: x=0 2: y=0 3: z=0 4: x+y+z=1,例3. 计算,其中 是介于平面,之间的圆柱面,分析: 若将曲面分为前后(或左右),则,解: 取曲面面积元素,两片,则计算较繁.,
