《高等数学同济版下第七节方向导数与梯度教学案例》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学同济版下第七节方向导数与梯度教学案例（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第七节,一、方向导数,二、梯度,三、物理意义,方向导数与梯度,一、方向导数,定义: 若函数,则称,为函数在点 P 处沿方向 l 的方向导数.,在点,处,沿方向 l (方向角为,) 存在下列极限:,记作,定理:,则函数在该点沿任意方向 l 的方向导数存在 ,且有,例2. 求函数,在点P(2, 3)沿曲线,朝 x 增大方向的方向导数.,例3. 设,是曲面,在点 P(1, 1, 1 )处,指向外侧的法向量,方向,的方向导数.,在点P 处沿,求函数,例1. 求函数,在点 P(1, 1, 1) 沿向量,的方向导数 .,二、梯度,方向导数公式,令,这说明,方向：f 变化率最大的方向,模 : f 的最大变化
2、率之值,1. 定义,即,同样可定义二元函数,称为函数 f (P) 在点 P 处的梯度,记作,(gradient),在点,处的梯度,向量,2. 梯度的几何意义,说明:,函数的方向导数为梯度在该方向上的投影.,称为函数 f 的等值线 .,则L*上点P 处的法向量为,例5.,试证,例4.,设函数,(1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线,在该点切线方向的方向导数;,(2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度与(1)中切线方向,的夹角 .,三、物理意义,函数,数量场 (数性函数),场,向量场(矢性函数),可微函数,梯度场,( 势 ),如: 温度场, 密度场等,如: 力场,速度场等,(向量场、势场),注意: 任意一个向量场不一定是梯度场.,内容小结,1. 方向导数, 三元函数,在点,沿方向 l (方向角,的方向导数为, 二元函数,在点,的方向导数为,沿方向 l (方向角为,2. 梯度, 三元函数,在点,处的梯度为, 二元函数,在点,处的梯度为,3. 关系,方向导数存在,偏导数存在, 可微,作业 P108 2， 6， 7， 8， 10,
