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1、推广,第八章,一元函数微分学,多元函数微分学,注意: 善于类比, 区别异同,多元函数微分法,及其应用,第八章,第一节,一、区域,二、多元函数的概念,三、多元函数的极限,四、多元函数的连续性,多元函数的基本概念,（1）邻域,一、多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,连通的开集称为区域或开区域,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点, 内点一定是聚点；,说明：, 边界点可能是聚点；,例,(0,0)既是边界点也是聚点, 点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于集合,例如,边界上的点都是聚点也都属于集合,（3）n维空间, n维空间的记号为,
2、说明：, n维空间中两点间距离公式,特殊地当 时，便为数轴、平面、空间两点间的距离,设两点为, n维空间中邻域、区域等概念,内点、边界点、区域等概念也可定义,邻域：,二、多元函数的概念,引例:, 圆柱体的体积, 定量理想气体的压强,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）二元函数的定义,类似地可定义三元及三元以上函数,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,是有界闭区域,例如,的定义域,是无界开区域,的定义域,不是区域,（2） 二元函数 的图形,二元函数的图形 通常是一张曲面.,图形如右图.,例如,例如,左图球面.,单值分支:,定义1 设函数,的定义域为,是,的内点或边界点，如果,以任何方式无
3、限,趋近于,时，,函数的对应值总是无限趋近于,某一个确定的常数,则称A为函数,当,记为,或,这里,三、多元函数的极限,时的极限,说明：,（1）定义中 的方式是任意的；,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,其中,值或有的极限不存在，,则可以断定函数极限不存在 .,例4. 讨论函数,函数趋于不同,在点 的极限.,值不同极限不同 !,在 点极限不存在 .,例4 证明 不存在,证,取,其值随k的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,播放,确定极限不存在的方法：,利用点函数的形式有,四、多元函数的连续
4、性,定义3,如果,例如, 函数,又如, 函数,在点 极限不存在,故 为其间断点.,注（1）,（2）,二元连续函数是一个无孔无缝的曲面,解,取,故函数在(0,0)处连续.,当 时,例6 讨论函数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,闭区域上连续函数的性质,（1）最大值和最小值定理,在有界闭区域 上的多元连续函数，在 上至少取得它的最大值和最小值各一次,在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次,（2）介值定理,多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复
5、合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数,例如,等都是二元初等函数,一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,例,解,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,五、小结,多元函数的定义,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,原因为若取,练 习 题,3、若,则,_.,则,_.,的定义域是_.,4、若,函数,练习题答案,不存在.,观察,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,
