《高等数学——方法上3计算导数的方法与技巧讲义教材》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学——方法上3计算导数的方法与技巧讲义教材（52页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,2-1 计算导数的方法与技巧,一. 方法指导,1. 利用导数定义求导 ( P45 中 3(1) ),2. 用导数公式和求导法则求导 ( P46 中 3(2) ),复合函数求导法则,隐函数求导法则,参数方程求导法则,3. 特殊求导方法,对数求导法,利用一阶微分形式不变性,( P49 中 4(3),2,4、高阶导数的运算法则,都有 n 阶导数 , 则,(C为常数),莱布尼兹(Leibniz) 公式,3,5. 高阶导数的求法 ( P49 中4 ),(1) 递推归纳求出,(2) 利用莱布尼兹公式,(3) 转化间接求出,(4) 参数方程求高阶导数,6. 初等函数在定义区间内可导 ;,界点处按左、右导
2、数定义讨论 .,若 f (x) 在界点,处左 连续, 左 近旁可导,这是因为,( 参考P86 例15 ),分段函数分段求导 ,(右),存在 ,(右),5,(2),(3),6,(4) 设,其中n为正整数，,（）；,解 因为,2012考研,A、,B、,C、,D、,7,2、设,是由方程,的隐函数，则,；,解 将,代入方程得,方程两边对x求导得,则,再求导得,，即,所确定,2012考研,8,3、设函数,；,解,由,的表达式可知,，则,2012考研,9,例2. 设,试确定常数 a , b 使 f ( x ) 处处可导, 并求,( P53 例3 ),解:,时,时,10,利用,在,处可导 ,即,思考:,必有
3、,是否为连续函数 ?,11,例3. 设,求复合函数,的导数 , 并讨论,的连续性 .,解:,12,13,例4 设函数,解,(2005 考研）,，则,在,内（ ）；,A、处处可导；,B、恰有一个不可导点；,C、恰有两个不可导点；,D、至少有三个不可导点。,在,显然可导，,14,例4 设函数,解,(2005 考研）,，则,在,内（ ）；,A、处处可导；,B、恰有一个不可导点；,C、恰有两个不可导点；,D、至少有三个不可导点。,在分段点,处，,所以,为不可导点；则共有2个不可导点。,C,处，,，所以,在分段点,为不可导点；,15,例5 设函数,解,(2005 考研）,连续，,求极限,令,原式,由积分
4、中值定理,或,原式,16,例6. 设,有,求,解: 在,中, 令,得,令 x = 1 ,得 C = 0 ,故,17,例7. 设函数,的反函数,及,均存在 , 且,求,解:,及,18,2. 试从,导出,解：,同样可求,(见 P103 题4 ),19,例7. 设函数,的反函数,及,均存在 , 且,求,及,20,例8、求,的值，使函数,在,处可导，并求,解,函数在x = 0处连续有,则函数在x = 0处可导有,21,例9. 设曲线方程为,求,解: 已知曲线的参数方程为,则,22,例10.设函数,(2005 考研）,是由参数方程,在,处的法线与x轴交点的横坐标.,解,时，,，解得,由于,的定义域为,，
5、所以,，该处法线的斜率为,法线方程,，令,，得,为法线与x轴交点的横坐标。,求曲线,确定，,23,例11. 求下列函数的 n 阶导数 :,解:(1),24,例12 设,解,得,，求,由公式,和莱布尼茨公式,25,例13 试确定常数的值,解 根据题设和洛必达法则，由于,得,解得,使得,(2006 考研）,26,2-2 微分中值定理的理解及其应用方法 (P65),一. 方法指导,1. 微分中值定理的理解及它们之间的关系,(1) 几个中值定理的关系 ( P71 图2-4 ),27,罗尔定理,柯西中值定理,28,(2) 中值定理的条件是充分的, 但非必要.,可适当减弱.,因此,例如, 设,在,内可导,
6、且,则至少存在一点,使,证: 设辅助函数,显然,在,上连续,在,内可导,由罗尔,定理可知 , 存在一点,使,即,阅读 P85 例13 , 例14,29,二. 实例分析,例1. 当 时, 试证,(P76 例2),证: 设,当 时,在,上,满足拉氏中值定理条件, 因此有,解出, 则,时,30,又因,及,在,单调递增 , 于是,说明: 中值定理只告诉位于区间内的中值存在 , 一般 不能确定其值 , 此例也只给出一个最好的上下界 .,31,2、(1)证明拉格朗日中值定理，若函数,(2009考研）,证明,（1） 令,在,上连续，在,内可导，则存在,使得,由题意可知,在,上连续，在,内可导，,根据罗尔定理
7、可得，存在,使得,且,即存在,使得,，,32,第三讲,导数的计算方法 及微分中值定理 的应用,33,2、 (2)证明：若函数,(2009考研）,证明,（2）对于任意的,在,处连续，在,内可导，且,则,存在，且,，函数,在,上连续，在,内可导，由右导数定义及拉格朗日中,由于, 故,存在，且,值定理有,34,例2. 设函数,在,内可导, 且,证明,在,内有界. (P77 例3),证: 取点,再取异于,的点,对,在以,为端点的区间上用拉氏中值定理,得,( 界于 与 之间),令,则对任意,即,在,内有界.,35,例3. 设,在,上连续, 在,证明存在,内可导,且,使,证:,因为所证结论左边为,设辅助函
8、数,由于,上满足拉氏中值定理条件,且,易推出所证结论成立 .,在,36,例4. 设函数,在,上二阶可导, 且,证明至少存在一点,使,得,证: 设辅助函数,因,在,上满足罗尔定理条件,所以存在,因此,在,上满足,罗尔定理条件,故必存在,使,即有,使,37,例5. 设函数,在,上连续, 在,但当,时,内可导,且,求证对任意,自然数 n , 必有,使,分析: 在结论中换 为,得,因,所以,证: 设辅助函数,显然,在,上满足罗尔定理条件,因此必有,使,即,38,例6. 设,在,上连续, 在,证明存在,内可导,且,使,证:,转化为证,设辅助函数,由于它在,满足,拉氏中值定理条件,(P118 题8),即证
9、,因此存在,使,39,再对,转化为证,在,上用拉氏中值定理 ,则存在,使,因此,40,例7（1）证明方程,在,内有且仅有一个实根。（2）记上式方,，证明,存在，并求此极限。,则,在,上连续，且,由闭区间上连续函数的零点定理知，方程,在,内至少有一个实根。当,时，,故,在,内单调增加。综上所述，方程,2012考研,程的实根为,证 （1）令,41,综上所述，方程,在,内仅有一个实根。,知数列,有界，又,因为,所以，,于是有,即,单调减少。综上所述，数列,单调有界，故,收敛，记,，由于,令,，并注意到,，则有,解得,，即,（2） 解 由,42,例8. 已知函数,内可导, 且,证: (1) 令,故存在
10、,使,即,(2005 考研）,43,内可导, 且,(2) 根据拉格朗日中值定理, 存在,使,3. 已知函数,44,二阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足,例9. 设函数,证:,据泰勒定理, 存在,使,由此得,即有,(2007 考研）,情形1.,则有,内具有,45,阶导数, 且存在相等的最大值, 并满足,情形2.,因此据零点定理, 存在,即有,则有,12. 设函数,应用罗尔,定理得,内具有二,46,例10. 设函数,在,上三阶可导, 且,设,使,证: 因,因,因此,试证存在,利用二阶泰勒公式 , 得,47,例11. 设函数,在,上二阶可导,且,证明,(P78 例5),证:,由泰勒公式得,两式相
11、减 , 得,48,例12. 设函数,在,上二阶可导, 且,证明方程,内有且仅有一根 . (P80 例9),证: 在,在,上,由泰勒公式可知,因,所以,又因,利用,的单调性及连续函数零点,定理 , 可知,在,内有且仅有一根 .,49,例13.,设函数,上具有二阶导数，且满足,证：,故序列,发散.,(2007 考研）,50,例14,设,上可导，,且,证明在,内必有唯一的,使,证明：（存在与唯一性）设,上可导，,由方程根的存在定理，存在,，使,（用反证法）设有,，由罗尔定理知，存在,，使,，即,这与,矛盾。,51,例15,设,上可微，且,试证在,内存在一点,，使,证明：变形,令,可见,，由罗尔定理得,52,例15,设,上可微，且,试证在,内存在一点,，使,证明：,可见,，由罗尔定理得,即有,因为,则有,
