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1、第7章 期权的基本概念和定价分析,6.1 独特性,（1）期货特性：线性,10000,7500,5000,2500,0,(2500),(5000),(7500),(10000),94.00,95.00,96.00,97.00,98.00,99.00,100.00,101.00,102.00,结算价格,最终支付（马克）,多头,空头,图4-1 债券期货合同双方的交付,(2) 期权特性：左右不对称，非线性,10000,7500,5000,2500,0,(2500),(5000),(7500),(10000),94.00,95.00,96.00,97.00,98.00,99.00,100.00,101.
2、00,102.00,最终支付（马克）,多头,空头,结算价格,图4-2 国债（期货）期权合同双方的交付,期权特性：左右不对称，非线性,4。0,3。0,2。0,1。0,0,-1。0,-2。0,-3。0,-4。0,6.00,7.00,8.00,9.00,10.00,11.00,12.00,13.00,14.00,最终支付（马克）,多头,空头,结算价格,股票期权合同双方的交付，执行价为10,（3）期货与期权的根本区别： 期货同时有权利和义务 期权将权利和义务分离,利润,损失,期货价格,权利,义务,期货多头,期货空头,图4-3 期货：权利和义务结合,图4-4 期权：权利和义务分离,利润,期货价格,只有权
3、利,多头看涨,多头看跌,利润,损失,期货价格,只有 义务,空头看跌,损失,期权买方,期权卖方,空头看涨,6.2 基本概念,看涨期权和看跌期权 持有一份看涨期权是： 买的权利 一定数量的对应资产 一定的价格 在给定日期或者之前执行 注意：看涨期权的买方有权利而没有义务,持有一份看跌期权是： 卖的权利 一定数量的对应资产 一定的价格 在给定日期或者之前执行 注意：看跌期权的买方有权利而没有义务,欧式：只能在到期日行使的期权 美式：在到期日前任何一天都可以行使的期权 权利金（期权价格或期权费）：买方为了获得期权支付给卖方的费用 交割价格（执行价格）：行使期权的价格，通常事先确定 内在价值：如果期权立
4、即执行其正的价值 时间价值：权利金超过内在价值的值 价内（折价）：有内在价值 价外（溢价）：没有内在价值 平价：行使价格等于相关资产价格,图4-5 期权的基本交付模式,买入看跌,买入看涨,卖出看跌,卖出看涨,图6-6 价内、价外和平价期权的关系,价外,价内,平价,看涨期权价值,看跌期权价值,交割价格,交割价格,平价,价内,价外,对应资产价格,对应资产价格,6.3 到期日的价值和利润模式,图4-7 美元对马克看涨期权的价值,0.3500,0.3000,0.2500,0.2000,0.1500,0.1000,0.0500,0.0000,1.40,1.45,1.50,1.55,1.60,1.65,1
5、.70,1.75,1.80,1.85,1.90,1.95,2.00,利润（马克）,对应资产价格（美元/马克）,0.2500,0.2000,0.1500,0.1000,0.0500,0.0000,-0.0500,-0.1000,1.40,1.45,1.50,1.55,1.60,1.65,1.70,1.75,1.80,1.85,1.90,1.95,2.00,利润（马克）,对应资产价格（美元/马克）,0.3000,期权费,平衡点,图6-8,表4-1 不同交割价格期权的期权费,交割价格,期权费,价内,平价,价外,1.5000,1.6000,1.7000,1.8000,1.9000,0.2200,0.1
6、300,0.0600,0.0200,0.0100,图4-9 五种美元对马克看涨期权的利润模式,0.2500,0.2000,0.1500,0.1000,0.0500,0.0000,-0.0500,-0.1000,0.3000,-0.1500,-0.2000,-0.2500,1.40,1.45,1.50,1.55,1.60,1.65,1.70,1.75,1.80,1.85,1.90,1.95,2.00,对应资产价格（美元/马克）,利润（马克）,1.5000,1.6000,1.7000,1.8000,1.9000,图4-10 美元对马克看跌期权的利润模式,0.3500,0.3000,0.2500,0
7、.2000,0.1500,0.1000,0.0500,0.0000,0.4000,-0.0500,-0.1000,-0.1500,1.40,1.45,1.50,1.55,1.60,1.65,1.70,1.75,1.80,1.85,1.90,1.95,2.00,利润（马克）,对应资产价格（美元/马克）,1.5000,1.6000,1.7000,1.8000,1.9000,中值=10% 标准差=20%,图4-11 收益率的正态分布,中值=112.75 标准差=22.78,图6-12 价格的对数正态分布,概率密度,图6-13 价外结果的对数正态分布,中值=112.75 标准差=22.55,概率,图6
8、-14 对应资产价格的分布,概率=0.66,期权价值,概率,图4-15 期权价值的分布,模型假设：,根本资产可以自由买卖 根本资产可以卖空 在到期前根本资产没有任何收益 资金的借贷适用相同的无风险利率且为连续复利 欧式期权，即在到期前不能执行 没有任何税赋、交易成本或保证金 根本资产价格是时间的连续函数，不会出现跳动或间断情况 根本资产的波动率、利率在契约期间不变,放宽假设：,根本资产买卖有约束 根本资产不能卖空 在到期前根本资产有收益或红利 资金的借贷无风险利率不相同 美式期权，即在到期前可以执行 有税赋、交易成本或保证金 根本资产价格出现突变 根本资产的波动率、利率均为随机过程,理论推导,
9、(1) 布朗运动的假设 关键在 , 用 是否可行 是正态分布 零均值 方差为1,（2）股票价格过程的假设,几何布朗运动,(3) Ito过程,设 设G是x和t的函数，则有,多元函数 泰勒展开：,用 并把 代入 更高阶无穷小量,ITO定理 的 特 例 应 用,ITO定理在远期合约中的应用,从方程 得到,ITO定理应用于股票价格对数变化,G=lnS,Black-Scholes微分方程的推导,(式*1),(式*2),恰当的证券组合应该是:,-1:衍生证券 :股票 此证券组合的持有者卖出一份衍生证券,买入数量为 的股票。定义证券组合的价值为 。根据定义：,时间后证券组合的价值变化 为:,(式*3),将方
10、程(式*1)和(式*2)代入方程(式*3), 得到,对欧式看涨期权, 关键的边界条件为: 当t=T时 对欧式看跌期权, 边界条件为: 当t=T时,案例2阿莱商品公司发行可售回股票,阿莱商品公司发行可售回股票,1984年11月，德莱克塞尔投资银行在帮助阿莱商品公司（Arley Merchandise Corporation）进行600万股的股票首次公开出售时，设计了可售回股票。即阿莱商品公司的普通股与一份看跌权同时出售。普通股的售价是每股8美元，看跌期权则是给予投资者在两年之后按8美元的价格将其持有的普通股出售给发行公司的权利。在这两年内投资者无权行使该权利，只有在满两年时，即1986年11月，
11、投资者才能行使期权。这样。投资者在这两年的投资每股至多损失时间成本，即利息。,当时，阿莱商品公司之所以愿意提供这样的承诺，是因为老股东不愿意以每股低于8美元的价格出售普通股，但德莱克塞尔投资银行却认为，按当时的市场情况，阿莱的股票仅能以每股6美元左右的价格出售。为了满足阿莱的要求，德莱克塞尔投资银行便设计了可售回股票。结果，阿莱的股票顺利的以每股8元的价格销售一空。,1984年11月15日，阿莱公司的股票在美国股票交易所AMSE上市。当天股价跌至7.625美元。在新股的适应期内，阿莱的股票不象一般的IPO股票一样：阿莱的股票迅速下挫至每股6美元这正是德莱克塞尔投资银行的预测值。其后的一年半内，
12、该股票始终在6美元左右徘徊，从1986年4月开始，它开始小幅攀升。,1986年8月16日，阿莱公司董事会接受了该公司的中层经理提出的管理层收购方案（MBO）。这些经理斥资4870万美元，以每股10美元的价格购买阿莱公司。于是，在其可售回股票的执行期内，阿莱公司的股价在910美元之间盘整，故“售回”没被执行。,阿莱公司的老股东和经理相对外部投资者而言，均是所谓的“内部人”，经理们愿意以每股10美元实施收购，足以证明其真实的股票价值断然不至市场预测的每股6美元。这个案例说明可售回股票的确有助于缓解公司内外的信息不对称问题，避免股价的低估 。,4.4 期权平价定理,4.5 股票期权价格的特征,一 、
13、 影响期权价格的因素 股票价格和执行价格 到期期限 波动率 无风险利率 红利,表4-2 一个变量增加而其他变量保持不变 对股票期权价格的影响,二 假设和符号,为分析问题，可以合理地假定不存在套利机会 以下字母的含义为： S：股票现价 X：期权执行价格 T：期权的到期时间 t: 现在的时间 ST：在T时刻股票的价格,r: 在T时刻到期的无风险利率 C：一股股票的美式看涨期权的价值 P：一股股票的美式看跌期权的价值 c: 一股股票的欧式看涨期权的价值 p: 一股股票的欧式看跌期权的价值 :股票价格的波动率,三、期权价格的上下限,1 期权价格的上限 股票价格是期权价格的上限:,2. 不付红利的欧式看
14、跌期权的下限,对于不付红利的欧式看跌期权来说，其价格的下限为：,假定S=$37，X=$40，r=5%，T-t=0.5 Xe-r(T-t) - S = 40e-0.05*0.5-37 = 2.01 或 $2.01 如果欧式看跌期权价格$1.00 $2.01(理论最小值) 套利者可借入六个月期的$38.00，购买看跌期权和股票。 在六个月末 套利者将支付$38e0.05*0.5=$38.96。,如果股票价格低于$40.00,套利执行期权以$40.00卖出股票，归还所借款项本金和利息， 其获利为：$40.00-$38.96=$1.04 如果股票价格高于$40.00，套利者放弃期权，卖出股票并偿付所借
15、款项本金和利息，甚至可获得更高的利润。 例如，如果股票价格为$42.00，则套利者的利润为：$42.00-$38.96=$3.04,考虑下面两个组合：,组合C：一个欧式看跌期权加上一股股票 组合D：金额为Xe-r(T-t)的现金 如果ST X，在T时刻看跌期权到期价值为零，该组合的价值为ST。因此，组合C在T时刻的价值为：max (ST , X),假定现金按无风险利率进行投资，则在T时刻组合D的价值为X。 因此，在T时刻组合C的价值通常不低于组合D的价值，并且有时组合C的价值会高于组合D的价值。 在不存在套利机会时，组合C的现在价值一定高于组合D的现在价值。因此： p+SXe-r(T-t) 或 pXe-r(T-t)-S,由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零 所以期权的价值必须为正值，即p0 这意味着： pmax(Xe-r(T-t)-S,0) 式（*1）,3. 不付红利的看涨期权的下限,不付红利的欧式看涨期权的下限是,例,考虑一个不付红利的股票的美式看涨期权 此时股票价格为$51时，执行价格为$50 距到期日有六个月，无风险年利率为12 即在本例中，S$51，X=$50，T-t=0.5，r=0.12。 根据c max(S -Xe -r(T-t)，0) 该期权价格的下限为S-Xe-r(T-t) 或51-50e-0.12*
