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1、一、空间直线的一般方程,二、空间直线的对称式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,五、杂例,7.8 空间直线及其方程,分析：,点M在直线L上点M同时在这两个平面上, 点M的坐标同时满足这两个平面的方程.,一、空间直线的一般方程,空间直线可以看作是两个平面的交线.,设直线L是平面1和2的交线, 平面的方程分别为 A1x+B1y+C1z+D1=0和A2x+B2y+C2z+D2=0,这就是空间直线的一般方程.,二、空间直线的对称式方程与参数方程,如果一个非零向量平行于一条已知直线, 这个向量就叫做这条直线的方向向量.,方向向量,直线上任一向量都平行于该直线的方向向量.,当直线L上一
2、点M0(x0, y0, x0)和它的一方向向量s=(m, n, p)为已知时, 直线L的位置就完全确定了.,确定直线的条件,通过点M0(x0, y0, x0), 方向向量为s=(m, n, p)的直线方程:,直线的参数方程,此方程组就是直线的参数方程.,提示：,先求直线上的一点, 再求这直线的方向向量s.,提示：,提示：,提示：,于是(1, -2, 0)是直线上的一点.,在直线的一般方程中令x=1,解,以平面x+y+z=-1和2x-y+3z=4的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s:,4i-j-3k.,s(i+j+k)(2i-j+3k),可得y=-2, z=0.,所给直线的对称式方程为,例1
3、,所给直线的参数方程为 x14t y2t z3t ,三、两直线的夹角,两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角.,设直线L1和L2的方向向量分别为 s1=(m1, n1, p1)和s2=(m2, n2, p2),那么L1和L2的夹角j满足,方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直线的夹角余弦:,例2,解,两直线的方向向量分别为,设两直线的夹角为j , 则,(1, -4, 1)和(2, -2, -1).,两直线垂直与平行的条件,设有两直线,L1 L2m1m2+n1n2+p1p2=0;,则,方向向量分别为(m1, n1, p1)和(m2, n2, p2)的直
4、线的夹角余弦:,提示：,四、直线与平面的夹角,当直线与平面不垂直时, 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角, 当直线与平面垂直时, 规定直线与平面的夹角为90.,设直线的方向向量为s=(m, n, p), 平面的法线向量为n=(A, B, C), 则直线与平面的夹角j 满足,方向向量为(m, n, p)的直线与法线向量为(A, B, C)的平面的夹角j 满足,直线与平面垂直和平行的条件,设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面P 的法线向量为 n=(A, B, C), 则,L/P Am+Bn+Cp=0.,例3 求过点(1, -2, 4)且与平面2x-3y+z-4=0
5、垂直的直线的方程.,平面的法线向量(2, -3, 1)可以作为所求直线的方向向量. 由此可得所求直线的方程为,解,设直线L的方向向量为s=(m, n, p), 平面P 的法线向量为 n=(A, B, C), 则,L/P Am+Bn+Cp=0.,平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量 s.,五、杂例,例4 求与两平面x-4z=3和2x-y-5z=1的交线平行且过点 (-3, 2, 5)的直线的方程.,解,因为,所以, 所求直线的方程为,x=2+t, y=3+t, z=4+2t, 代入平面方程中, 得 2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0. 解上列方程
6、, 得t=-1. 将t=-1代入直线的参数方程, 得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2.,解,所给直线的参数方程为,例5,解,所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0),过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为,(x2)(y1)2(z2)0,即xy2z7,此平面与已知直线的交点为(1 2 2),提示： 求出两直线的交点是关键 而交点就是过已知点且与已知直线相垂直的平面与已知直线的交点,解,所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0),过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为,(x2)(y1)2(z2)0,即xy2z7,此平面与已知直线的交
7、点为(1 2 2),所求直线的方程为,分析：,因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例, 所以对于任何一个l值, 上述方程的系数不全为零, 从而它表示一个平面.,分析：,对于不同的l值, 所对应的平面也不同, 而且这些平面都通过直线L, 即这个方程表示通过直线L的一族平面.,分析：,另一方面, 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0, 即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0, 其中l为任意常数.,上述方程表示通过定直线L的所有平面的
8、全体, 称为平面束.,平面束,考虑三元一次方程:,A1x+B1y+C1z+D1+l(A2x+B2 y+C2z+D2)=0,即 (A1+lA2)x+(B1+lB2)y+(C1+lC1)z+D1+lD2=0,其中l为任意常数.,提示：,我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂直的平面, 此平面与已知平面的交线就是所求的投影直线.,提示：,这是平面束的法线向量(1+l, 1-l, -1+l)与已知平面的法线向量(1, 1, 1)的数量积.,(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0, 即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.,为了求得与已知平面x+y+z=0垂直的平面, 令,(1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0,解,设通过已知直线的平面束的方程为,即 y-z-1=0.,2y-2z-2=0,于是得到与已知平面垂直的平面的方程为,解得l=-1.,所以投影直线的方程为,(x+y-z-1)+l(x-y+z+1)=0, 即 (1+l)x+(1-l)y+(-1+l)z+(-1+l)=0.,为了求得与已知平面x+y+z=0垂直的平面, 令,(1+l)1+(1-l)1+(-1+l)1=0,解,设通过已知直线的平面束的方程为,
