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1、第一节 多元函数的基本概念,一、平面点集 n 维空间 二、多元函数概念 三、多元函数的极限 四、多元函数的连续性 五、小结 练习题,（1）邻域,一、多元函数的概念,（2）区域,例如，,即为开集,内点：,设 E 是平面上的一个点集，,P 是平面上的一个点,如果存在点 P 的某一邻域,则称为的内点,的内点属于,如果点集的点都是内点，,则称为开集,例如，,例如，,有界闭区域；,无界开区域,例如，,（3）聚点,I： 内点一定是聚点；,说明：,如果对于任意的 0 , 点 P 的去心邻域,内总有 E 中的点，则称点 P 是点集 E 的聚点,II： 在 内，总有 E 的无穷多个点；,III： 点集E的聚点可
2、以属于E，也可以不属于E,例如,(0,0) 是聚点但不属于E,E中任何一点都是 E 的边界点，,又如,E 中的任何一点都是 E 的聚点。,思考题：边界点是否一定是聚点？反之，聚点是否 一定是边界点？,（4）n 维空间,当 n = 3 时，( x , y , z ) 表示空间中的一个点或向量,表示空间中的全体点或全体向量。,因此，我们也称,为,中的一个点,或一个 n 维向量。,定义线性运算如下：,称 ( x, y ) 为空间两点 x 和 y 之间的距离,设,中两点间的距离公式,中变元 x 的极限,如果,则称变元 x 趋于固定元 a , 记作,类似地，内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义,结论：
3、,中邻域、区域等概念,则称 中的点集,为 中点 a 的 邻域。,二、多元函数的概念,f 称为对应规则或函数，f ( x , y ) 称为 f 在点 ( x , y ) 处的函数值。,函数值的全体所构成的集合称为函数 f 的值域，记作,函数与选用的记号无关，如,则称 f 是 D 上的二元函数, 记为,类似地可定义三元及三元以上函数,n 元函数通常记为,或简记为,一元函数与多元函数的概念比较,一 元函数 y = f (x):,二元函数 y = f (x, y):,n 元函数,例1 求 的定义域,解,所求定义域为,二元函数 的图形,（如下页图）,当 P ( x, y ) 取遍 D 上一切点时, 得到
4、空间点集,二元函数的图形通常是一张曲面.,例如,单值分支:,二、多元函数的极限,一元函数极限回顾：,如果在 的过程中，,f (x) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x),当 时的极限，记为,二元函数的极限：,如果在 的过程中,f (x, y ) 无限接近一个确定常数 A ，就称 A 是 f (x, y ),当 时的极限，记为,都有,说明：,（2）二元函数的极限也叫二重极限,（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似,（1）定义中 的方式比 的方式复杂的多,例2 求证,证,当 时，,原结论成立,例3 求极限,解,其中,证,例4 证明 不存在,（2）取,此时，仍不能确定极限是否存在
5、,（1） P ( x , y ) 沿 x 轴趋于 ( 0 , 0 )，,此时 y = 0 , x 0,例4 证明 不存在,证,（3）取,极限值随 k 的不同而变化，,故极限不存在,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,确定极限不存在的常用方法：,求二元函数的极限常用的方法：,（1）用定义验证其存在或不存在；,（2）利用变量代换转化为一元函数的极限， 再用一元函数中已有的方法；,（3）消去分子分母中极限为 0 的
6、因子；,（4）利用极限运算性质（与一元函数相似）；,（5）利用函数的连续性；,解：,例5：求极限,解：,例6：求极限,解：,例7：求极限,四、多元函数的连续性,一元函数连续性回顾：,二元函数的连续性,如果函数 f ( x, y ) 在 D 的每一点都连续，,二元函数连续的三个要素,则称函数 f ( x, y ) 在 D 上连续，,或者称 f ( x, y ) 是 D 上的连续函数。,二元函数间断的情形比一元函数要复杂的多,因为当,f ( x , y ) 无定义，,所以在整个圆周,f ( x , y ) 间断。,例8 证明函数,在(0,0)处连续,解,取,故函数在(0,0)处连续.,例9 讨论函
7、数,在(0,0)的连续性,解,取,其值随k的不同而变化，,极限不存在,故函数在(0,0)处不连续,定义3,如果函数 f ( P ) 在 D 的每一点都连续，则称 函数 f ( P ) 在 D 上连续，或者称 f ( P ) 是 D 上的 连续函数。,n 元函数的连续性,（2）多元初等函数：由常数及不同自变量表达的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算所构成的可用一个式子表示的多元函数叫多元初等函数,（3）一切多元初等函数在其定义区域内是连续的,定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域,关于多元函数连续性的几点说明,（1）一切一元基本初等函数，作为一个二元或二 元以上的多元函数时，在其定
8、义域内都是连续的。,不同自变量表达的一元基本初等函数,（4）利用多元函数的连续性可以计算在其连续点 处的极限。,例,解,闭区域上连续函数的性质,在有界闭区域 D 上的多元连续函数，在 D 上必定有界，且能取得它的最大值和最小值，即,（一）有界性及最大值和最小值定理,（2）至少存在两点,（1）存在正数 M ，使得对于任意的点 P D ，均有,（二）介值定理,在有界闭区域 D 上连续的多元函数 f ( P ) ， 必取得介于最小值 m 和最大值 M 之间的任何值。,即对任意的 c , m c M ,至少存在一点 P D ,使得：,多元函数极限的概念,多元函数连续的概念,闭区域上连续函数的性质,（注意趋近方式的任意性）,四、小结,多元函数的定义,习题91: 4(3, 5), 5(2, 4, 6), 6(1), 8,第八章作业,第一节：多元函数的基本概念,答案：,思考题,思考题解答,不能.,例,取,但是 不存在.,因为若取,练 习 题,练习题答案,不存在.,观察,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,观察,不存在.,
