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1、2 换元积分法与分部积分法,一、第一换元积分法,二、第二换元积分法,三、分部积分法,不定积分是求导运算的逆运算,相应,部积分法.,求导公式,不定积分有换元积分法和分,于复合函数求导数的链式法则和乘法,返回,定理8.4 (第一换元积分法),则,证,一、第一换元积分法,所以(1)式成立.,第一换元积分法亦称为凑微分法, 即,常见的凑微分形式有,例2,解,例3,解,解,例5,解,例4,(解法二),解 (解法一),例6,定理8.5 (第二换元积分法),上可导,证,二、第二换元积分法,等类型的不定积分上, 对此可分别设,于是,第二类换元积分法常用在,所以(2)式成立.,例7,解,解,这里可借助辅助直角三
2、,角形, 求出 sec t , tan t .,例9,解,其中 sec t 和 tan t 可借助辅助直角三角形求出.,例10,解,三、分部积分法,定理8.6 (分部积分法),若u(x)与v(x)可导, 不定积分,两边积分,得,1. 降幂法,等类型函数的不定积,例11,解,分时,可用分部积分法使 xn 逐次降幂.,定积分时,需要使用升幂法.,例12,解,注 通过对 xn 的升幂和 ln x 的求导, 化解了难点.,2. 升幂法,等类型函数的不,类型的函数的不定积分时,用分,3. 循环法,例13,解,(3),解出方程加上常数C 即可得不定积分.,部积分法两次,循环得到含未知不定积分的方程,(4)式代入(3)式,得,(4),整理后得到,同理,4. 递推法,例14,解,由此解出,
