《第二章 曲面论 2.2 曲面的第一基本形式课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第二章 曲面论 2.2 曲面的第一基本形式课件（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二节曲面的第一基本形式2、1曲面的第一基本形式“曲面上曲线的弧长l给川缅&=(J，)山川线(C)=4一人(/)1一()。或7=7(Dv(0=7(0,/4dv0=史贵+蕴坊或“dr=rdu+ridu若5表示弧长有施=办2=#+删旷二尿-du2+2FFduidu+弃d所以I=Edu+2Fdudv+Cdo2称为曲面的第一基本形式。其中旦=史史,尸=五.乎,C=00称为第一类基本量。口y2、曲线(C)卜两占A腑日)间的弧长为:4血25东东sG伽山ddd3、用显函数样z=z(xr,)表示的曲面的第一基本形式=(xy,Z(x,y)兮二人0,p云=(0Lgp=匹=丁打二1+p2,尸二尼-兮二I=(L+p2
2、d+2pgdrdy+(L+g2Qy4、第一基本形式是正定的。事实上,=心=尸0.G=人0.EG-历二-(70.也可从I=ds“直接得到。例题1:求球面的第一基本形式二Rcosbcosg,Rcosbsing,Rsinb一二XCOSM二WSinV,2二QVI=ds*=diuz+(u2+aJd2、2曲面上两方向的交角1、把两个向量dr=vdu+rdv和8=/.6u+6间的交角称为方向(du:dov)和“(u280)间的角:2、设两方向的夹角为9,则d厉(rdu+nidoiGlt+FGD)coS0=一一一llaldzy52Edubu+F(duB+Gudy)+GdvGy目VEdu+2Fdudv+Gdry
3、E8*+2F6u6,+G6*3、特别t5(d)L(5)yEdu5t+F(du8+&idW+Cdv5u=0t)对于坐标曲线的交角,有故坐标曲线正交的充要条件为F=0。2、3“正交曲线篱和正交轨线设有两曲线Adu+Bdv=0,C(uom)eu+D(aow)6v=0如果它们正交,则Eduiu+F(du6+Gudo)+Cdv6,=0或E+F(_+jxe6东生-di旖朊即5-F(_)+不仁0丁D若另给出一簇曲线Adu+Bdv=0,则另一族与它正交的曲线称为这曲线的正交轨线,它的微分方程是A咤,yG(-口叙_一十与(B+靡)+G缪)肠0用_BE-4F,咤“BF-4G2、4“曲面域的面积如图,用坐标曲线把曲
4、面1Aduo+dy分成若干小块,每块的面积为砺da=|5duxFdij壮_dzv=ecr=历xRudv=VEC-Fduav其中D为相对应的ww平面上的区域,伟X八二73F2一(F.广二EC一F20定义:仅由第一基本形式出发所建立的几何性质(量)称为曲面的内在性质(量)或内蕴性质(量)。如曲面上曲线的弧长,曲面上两方向的交角,曲面域的面积。，办u+di)2、5等距变换D)曲面5到i的变换给定两曲面:“S:7三F(uoy)St:相五吴noV1)如果其对应点的参数之间存在一一对应关系:助三加(史,页二M(o)其中山(oD),Vi(oV)连续,有连续的偏导数,且这种一一对应关系称为曲面5到5的变换。由
5、于5:开二弃(xl,1)二史l(x,V),V(ato)二五9)这样两个曲面在对应点就有相同的参数。并且在以后的讨论中我们总假定在对应点有相同的参数。2)等距变换,曲面间的一个变换,如果保持曲面上任意曲线的长度不变,则这个变换称为等距变换(保长变换)。9(4u9)09(unM)万定理:两个曲面上的一一变换是等距变换的充要条件是经过适当选取参数后,它们有相同的第一基本形式。证明:必要性设y与s是等距的且对应点有相同的参数,则s上任一条曲线与si上对应曲线有相同的长度,即对于eonl4ddidy(vddE刍n标e前a前李r即有Edu+2Fdudv+Gd=Edu+2酐dd+G】龊v对于两曲面上的曲线都
6、成立,即对任方向都成立,因此有E=E5,F=F,G=Gl充分性设两曲面有相同的第一基本形式,由于弧长由第一基本形式决定,所以它们的弧长相同。由这个定理可知:仅由第一基本形式所确定的性质(内蕴性质噩等距变涣下不变,因此曲线的弧长,交角,面积等都是等距不2、量”2、6保角变换(共形变换1定义:两曲面之间的一个变换,如果保持曲面上曲线的交角相等,则这个变换称为保角变换(保形变换)2)定理:两个曲面间的一个变换是保角变换的充要条件是它们的第一基本形式成比例。证明,设取相同的参数时两个第一基本形式为L,T。必要性:设曲面间的变换是保角变换,因此正交性不变,由正交条件Eduit+F(duB+5udv)+CGdv5y=0得“EduBu+F(du6,+&udo)+Gidv5=0消去Go8y得EdL+Fdo_Fdu+CduEidu+Fdy“Fidu+Gidu由diudv的任意性,茌血=0时有吾=音,de=0时有y与团团戟五=万一佐口G充分性_由于第一基本形式成比例,得万=丿E,P=志FR,G=矶G代入交角公式知对应曲线的交角相等。特别:等距变换是它的特例。
