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1、第二章 控制系统的数学模型,4 数学模型的实验测定法,1 控制系统的时域数学模型,2 控制系统的复域数学模型,3 控制系统的结构图和信号流图,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,微分方程是描述自动控制系统时域动态特性的最基本模型，微分方程又称之为控制系统时域内的运动方程。,例:图示是由R、电感L和电容C组成的无源网络，写出以 为输入量，以 为输出量的网络微分方程。,1 线性元件的微分方程,图2.1 RLC无源网络,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,解： 消去中间变量 得到微分方程：,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,例 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为
2、外力F，输出量为位移x。,m,f,m,F,F,图2,图1,解：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。,根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： 这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,编写系统微分方程的步骤：,1.确定系统的输入量和输出量； 2.将系统分解为各环节，依次确定各环节的输入量和输出 量,根据各环节的物理规律写出各环节的微分方程； 3.消去中间变量，求出系统的微分方程。,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,2 控制系统微分方程的建立,例：编写下图所示的速度控制
3、系统的微分方程。,测速,-,运放,运放,功放,电动机,速度控制系统方块图：,消去中间变量：推出 之间的关系： 显然，转速 既与输入量 有关，也与干扰 有关。,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,3、线性系统的基本特性,线性系统的重要性质是可以应用叠加原理。叠加原理有两重含义。,叠加性 均匀性,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,4、线性方程的求解 研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。,拉氏变换求微分方程解的步骤： 对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。 求拉氏反变换，求得输出函数的时域
4、解。,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,5 非线性微分方程的线性化 在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。,若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线
5、性环节。,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的 。A点附近有点为 ，当 很小时，AB段可近似看做线性的。,控制系统的数学模型控制系统的时域数学模型,设f(x)在 点连续可微， 则将函数在该点展开为泰勒级 数，得：,若 很小，则 ，即 式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程， 是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工 作点附近展开。,控制系统的数学模型控制系统的复域数学模型,传递函数是经典控制理论中最重要的数学模型之一。利用传递函数，可以：,不必求解微分方程就可以研究零初始条件系统在输入
6、作用下的动态过程。,了解系统参数或结构变化时系统动态过程的影响 -分析,可以对系统性能的要求转化为对传递函数的要求-综合,控制系统的数学模型控制系统的复域数学模型,1、传递函数的定义和性质 定义：线性定常系统在零初始条件下输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。,将上式求拉氏变化，得(令初始值为零）,控制系统的数学模型控制系统的复域数学模型,称为环节的传递函数,性质,1) 传递函数是系统（或环节）在复数域中的数学模型，是固 有特性的描述，反映了线性定常系统输入量和输出量之间 的一种关系式。 2) 传递函数只取决于系统本身的结构参数，与外界输入无关,控制系统的数学模型控制系统的复域数学模型,3)
7、 传递函数是复变量s的有理真分式函数，即mn。（ m 、n分 别为分子、分母的最 高阶次。） 4) 若输入为单位脉冲函数，即r(t)=(t)，则R(s)=Lr(t)=1， 则 这说明此时系统的g(t)与传递函数G(s)有单值对应关系，它们都可以用来表征系统的动态特性。 5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方程。,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,1.系统结构图的组成和绘制,图模型的一个突出优点是直观、形象，是工程上用来分析复杂系统的重要手段。方块图组成的四个基本单元： （a）信号线； （b）分支点(又叫测量点)； （c）比较点(又叫求和点)；（d）方块（又
8、叫环节）； 系统的方块图实质上是将原理图与数学方程两者结合起来，它一种对系统的全面描写。,例利用结构图等效变换讨论两级RC串联电路的传递函数。,解：不能把左图简单地看成两个RC电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：,-,-,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,-,总的结构图如下：,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,2、结构图的等效变换：,环节的合并； -串联 -并联 -反馈连接 信号分支点或相加点的移动。 原则：变换前后环节的数学关系保持不变。,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,1、串联运算法则 因为 结论：多个环节串联后总的传递函数等于每个环 节
9、传递函数的乘积。 G(s) = G1(s) G2(s) Gn(s),控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,2、并联运算法则 因为 所以 结论：多个环节并联后的传递函数等于所有并联 环节传递函数之和。 G(s) = G1(s) + G2(s) + + Gn(s),控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,3、反馈运算法则 前向通道和反馈通道传递函数分别为G(s)、H(s) 结论： 具有负反馈结构环节传递函数等于前向通 的传递函数除以1加（若正反馈为减）前向通道与反 馈通道传递函数的乘积。,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,控制
10、系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,例系统结构图如下，求传递函数 。,-,+,相加点移动,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,解：结构图等效变换如下：,-,+,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,4、闭环系统的传递函数： 闭环控制系统（也称反馈控制系统）的典型结构图如下图所示：,图中， ， 为输入、输出信号， 为系统的偏差， 为系统的扰动量，这是不希望的输入量。,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,（一）给定输入作用下的闭环系统： 令 ，则有：,-,输出量为：,上式中， 称为前向通道传递函数，前向通道指从输入端到
11、输出端沿信号传送方向的通道。前向通道和反馈通道的乘积称为开环传递函数 。含义是主反馈通道断开时从输入信号到反馈信号 之间的传递函数。,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,系统偏差传递函数：,-,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,（二）扰动作用下的闭环系统： 此时R(s)=0,结构图如下：,输出对扰动的传递函数为：,一般要求由扰动量产生的输出量应为零。系统的误差为-C(s), 偏差E(s)=0-B(s)=-H(s)C(s)，扰动作用下偏差传递函数为：,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,(三）给定输入和扰动输入同时作用下的闭环系统 根据线性迭加原理：,输出：,偏差：,提示：各个传递函数 都具有相同的分母，分母称为控制系统的特征表达式。,控制系统的数学模型控制系统的结构图与信号流图,
