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1、 课程 名称： 经济数学模型 学分： 2 教师： 毛瑞华 电话： (028) 85413996 E-mail: (123456) QQ： 459519390,2. 参考书 1. 宏观经济数量分析方法与模型, 刘起运 主编, 高等教育出版社 2. 经济数学模型, 洪毅 等 编著 华南理工大学出版社 3. 经济学中的分析方法, 高山晟(美) 著, 刘振亚 译, 中国人民大学出版社 4. 经济数学方法与模型，安吉尔.德.拉.弗恩特 著, 上海财经大学出版社 5. 经济学的结构-数量分析方法, Eugene Silberberg, Wing Suen 著, 清华大学出版社,第一部分,经济数学模型的概念
2、 及建模方法简介,1.1数学模型和模型的建立,一、模型和数学模型,1. 模型：人们为了深刻地认识和理解原型问题而对其所作的一种抽象和升华，其目的是通过对模型的分析、研究加深对原型问题的理解和认识。,2. 数学模型：通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象进行的一个近似的描述，以便于人们更加深入地认识所研究的对象。,对实际问题的分析、归纳，做出一些必要且合理的假设条件，将实际问题中的一些指标进行量化；,(2) 给出描述问题的数学提法；,(3) 利用数学理论和方法或计算机进行分析, 得出结论；,(4) 利用现实问题验证结论的合理性，并作修正.,3. 需要解决几个问题：,4.数学模型建模的步骤,模型准
3、备,模型假设,模型建立,模型求解,模型分析,模型检验,模型应用,模型改进,二、建立数学模型的一个实例,1、问题的提出,设市场上有n 种资产Si(i=1,2,n)可供投资者选择, 某公司有数额为 M 的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资。公司财务人员对这 n 种资产进行了评估，估计出在这一时期内购买资产Si 的平均收益率为ri,且预测出购买资产Si 的风险损失为qi。 考虑到投资越分散,总的风险越小。公司决定在运用这批资金购买若干资产时，总体风险用在资产Si中所投资产的最大风险来度量。 购买资产Si的需要支付交易费,其费率为pi,并且当购买额不超过ui时, 交易费按购买额 ui计算。 设同期银
4、行存款利率是r0=5%, 且存取款时既无交易费也无风险。,2. 对问题的定位：最优化问题,需要确定购买资产Si 的具体投资额 xi ,即建立投资组合，实现两个目标：,(1) 净收益最大化；,(2) 整体风险最小化；,3. 建模准备：,(1)决策变量： 资产Si ( i =0,1,n)的投入量xi , i =0,1, n, 其中S0 表示将资产存入银行。,(2)投资收益： 购买资产Si (i=0,1,2, n)的收益率为 ri, 因此投资 xi 的收益率为 rixi , 除去交易费用ci(xi),则投资 xi 的净收益为 Ri=rixi - ci(xi)。 从而，总投资的总收益为 R(x)=Ri
5、(xi)。,用数学符号和公式表述决策变量,构造目标函数和确定约束条件,(3)投资风险：,购买资产Si(i=0,1,2, n)的风险损失为qi , 因此投资xi 的收益率为qi xi, 其总体风险用Si的风险,即Qi(xi)= qi xi中最大的一个来度量.,从而总投资的风险损失为 Q (x)= maxQi(xi)。,(4) 约束条件：,(II). 记 x=(x0, x1, x2, , xn)T, 1=(1, 1, 1, ,1)T, c=(c0, c1, c2, , cn)T, r=(r0, r1, r2, ,rn )T,总净收益R(x), 整体风险Q(x)和总资金F(x)各为,4. 两目标优化
6、模型,5. 单目标优化模型,求解模型,令,模型1,求最大化收益。,给定风险水平,求解模型,模型2,求最小化风险。,给定盈利水平,令,模型3 给定投资者对风险-收益的相对偏好参数0, 求解模型,6. 简化交易费用下的模型,(1) 交易费用函数为,由于固定费用pi ui 的存在在, 使得模型是非线性模型,难于求解模型。,表示投资于Si 的资金比例。,在实际计算中，常假设M=1，则,当M 很大而 ui 相对较小时,可略去 pi ui 的作用,即ci(xi)=pixi, 则资金约束条件变为：,(3) 简化交易费用下的模型：,LP1：,LP2：,LP3：,1.2 优化模型的求解方法,(1) 一元函数的无
7、(有)条件极值；,(2) 多元函数的无(有)条件极值；,(3)* 线性(或非线性)规划方法；,定理 1 (极值第一判别法),且在空心邻域,内有导数,(1) 一元函数的极值与最大(小)值,定理2 (极值第二判别法),二阶导数 , 且,则 在点 取极大值 ;,则 在点 取极小值 .,二、最大值与最小值问题,求函数最值的方法:,(1) 求f(x)在(a,b)内的极值可疑点x1,x2,xm ;,若函数f(x)在a,b上连续,则其最值只能在极值点或端点处达到.,(2) 最大值,最小值,当f (x)在a,b内只有一个极值可疑点时, 若在此点取极大(小)值 , 则也是最大(小)值 . 当f(x)在a,b上单
8、调时,最值必在端点处达到. 对应用问题 , 有时可根据实际意义判别求出的可疑点是否为最大 值点或最小值点 .,20,例1. 铁路 AB 段的距离为100 km,工厂C 距A处20 km , AC AB ,要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条公路,已知铁路与公路每公里货运价之比为 3:5 ,为使货物从B 运到工厂C 的运费最省,问D 点应如何选取?,( k 为某一常数 ),解: 设,则,令,得,又,所以 为唯一的极小点 ,故 AD =15 km 时运费最省 .,总运费,从而为最小点 ,例2. 一束光线由空气中A点经过水面折射后到达水中B点(如图示)。已知光在空气和水中传播的速度分别是v1
9、和v2 , 光线在介质中总是沿着耗时最少的路径传播, 试确定光线的路径。,O,Q,h2,h1,空气,水,解：设点 A 到水面的垂直距离为 AO= h1, 点B 到水面的垂直距离为BQ= h2, x 轴沿水面过点O、Q, OQ = l。 根据条件可知光线在同一种介质中传播时是按直线方式传播的，因而光线从 A 点到B 点应该经过折射点P, 其路径为折线 APB,所需时间为：,当 x0, l 时,T(x)在0, l上连续,T(x)在 x(0, l )上有唯一的零点x0,且x0是T(x)在(0,l )内唯一的极小值点, 从而x0也是T(x)在(0,l )内的极小值点,设 x0满足 T (x)=0, 即
10、,与 1 联系,与 2 联系,因此，,即当点 P 满足上述条件时，APB即是光线的传播途径。,记,(二) 多元函数的极值 设 n 元函数 f (x1, x2, xn)具有3 阶连续偏导数,记,多元函数极值的判断,定理1.1 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数，且在点X=(a1, a2, an)T处邻域内有定义，|H|0,则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极大值的充分必要条件是,且,是负定矩阵(海森矩阵)。,矩阵H 的正定性的判断方法,(1)矩阵对应的二次型大于0；,(2) 矩阵H 的顺序主子式全大于0；,(3) 矩阵H 的特
11、征值全大于0。,定理1.2 设n元函数 f (x1, x2, xn) 具有3阶连续偏导数, 且在点X = (a1, a2, an)T处邻域内有定义, |H|0,则函数 f (x1, x2, xn) 在点X=(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是,1.2.3 二次多项式函数的极值,函数 f (x1, x2, xn)是二次多项式时，设矩阵 AT=A，记,注: 当B = 0，且C = 0 时，f (X)即是线性代数中的二次型。,推论1.1 设函数 f (X)=XTAX+BX+C 是一个二次多项式,且AT=A,则函数f (X)在点(a1, a2, an)T 处达到极大值的充分必要条件是
12、,且矩阵A是负定矩阵。,推论1.2 设函数 f (X)=XTAX+BX+C是一个二次多项式, 且AT=A。则函数 f (X) 在点(a1, a2, an)T处达到极小值的充分必要条件是,且矩阵A是正定矩阵。,多元函数的条件极值 Lagrange multiplier,设函数u = f (x1, x2,xn)具有3阶连续偏导数,且有m个约束条件:,(一)约束条件问题,(1) 函数 u = f (x1, x2, xn) 的自变量的变化范围受到限制,必须满足m个约束条件。 (2) 要求在这 m 个约束条件下求解函数u = f (x1, x2, xn)的极大值或极小值函数 u 的条件极值。,(二) L
13、agrange multiplier 函数,引入m个拉格朗日乘数 1, 2, ,m ,构造新的函数 拉格朗日乘子函数：,(三) 条件极值存在的必要条件,(四)应用实例,设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价格为 p, 销售量为 x。假设该厂的生产处于平衡状态 ，即电视机的生产量等于销售量。根据市场预测, 销售量 x与销售价格 p 之间有如下关系：,其中M 为市场最大需求量,a 是价格系数。同时生产部门根据对生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c有如下测算:,其中c0是只生产一台电视机的成本,k是规模系数.根据上述条件,应该如何确定电视机的销售价格 p,才能使该厂获得最大
14、利润?,分析：在生产和销售商品过程中,商品销售量、生产成本与销售价格 是相互影响的。厂商只有选择合理的销售价格最优价格,才能获得最大利润。,解：设厂家获得的利润为u, 每台电视机的生产成本为c,销售价格为p,销售量为x, 则利润函数为 u = (p - c) x (3) 问题变化为在条件(1)(2)下求解利润函数的最大值。 构造拉格朗日函数,令,由(8)(9)可得,由(8)(6)可得,由(7)可得,从而,有,最优销售价格为,说明： 在最优销售价格p*的表达式中含有规模参数k、价格系数a。 为了确定电视机的最优销售价格,必须预先给出这些参数。,复习：微积分的相关内容,1. 多元函数的偏导数的求法； 2. 多元函数的无条件极值的求法； 3. 多元函数的条件极值的求法；,
