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1、ercarogtmnitnitaototmoapmpzzstaretoometegn受曲面积分的概念.一二重积分的概念引入(物理模型)1曲顶柱体的体积计算=鲍义/(6up)A2非均匀薄片的质量(设面密度p(x,y)在D上连续)M=国乙p(uJJA定又设/)跋有雯闭区域D上的有雯函簪将闭区域D任蝶分成n个小闭区域Ar,A“Ao7其中A表示第;个不闭区域,也表示它的面积在每个A上任取一点(,0,)作乘积f(5,7)AC=12.办,并作和(E,70)AC,如果各小闭茎域的直径中最大者值入趋于零时区和的极限申存在则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分,记作JyGsoazgm文7(cu0ac
2、=fTGsmda其HhyCe)M偷被积函数/CeJ)4do秘为被积表达式do秦为面积元素x称为积分变量,D称为积分区域.乙/(5,7)A:称为积分和闫特别地:用平行于坐标轴的直线网划分D,则得到二个个小矩形Ao=Ax,.Ayt因此,在直角坐标系中*有时传将面积元素4o记作Qedy,而将二重积分记作厂f(xy)drdy其中Q称为直角坐标系中的面积元素.二二重积分的性质性质1盯砌彻ac=AIIE性质2IIGg(r.yJIgc=IfGeyactIscmac性质3盯XGeac=fcemar+|fGemac(口DUD,可加性)性质4如果在D上,f(x,7)=Lo为D的面积,口3Jfaza5径质5如果在D
3、上7洁jw有不要妙JfresmarfeGsmac特别地,我们有JFresmaclslresmlac性质6设M,m分别为f(x刀在闭区域D上的最大值,最小值D的面积则有mo伊/GrJJdorMa性质7(二重积分中值定理)设函数/(y)在闭区域上连续c是D的面积则在D上至少存在一点($.力使得下式成立fGcyqr=/(,m0.a件计积分:|Ce-y+5Jao的大小林十扬4第万节二重积切的计算法总的目标是将二重积分化秀尝贾单积疗一利用直角坐标系X塑区域(2)7型区域G)任何一种形状的区域总可以分成x型与7型区域之和从而根据积分对区域的可加性可知只要研究清楚Y型与7型积分区域如何去积即可(如果积分区域
4、既是x型又是7型则两种顺序的积分可以交挨次序即axJ“TGro0ay=一曰J2FGeoa以下用t型区域推导二重积分计算公式:rermacff皂的JCrDapge=ac2TCroyay仲计算ydo.其中D是界一IRKFf图成的闭区域既是x型又是I垒)例2计算yyi+2异ao.其中D是由直线y=xx=1和=1所围成的闭区域(用F型计算麻烦说明要考虎f(:r,y的特性)例3计算xydo,其中D是由抛物线/?=x及直线y=x-2所围成本题用Y型计算简便本例说明还需考虑积分区域D的形状例4.求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体体积.所求立体等于在第一卦限内体积m的8倍,而m是一个曲顶柱体,其底面可看作积分区间史=Gr0EyEy卵-古,“05Ex5砂顶是柱面z=y又一古“下=JV友一“ar永汐=8汐=誓R例5交换积分次序fCecDar+FTGrD例6计算e+y-2|dxdy:其中D:0Sx52,0E2D例5求的立吊2二x干2儿友E二0一2X一刀床的体积
