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1、1,通信系统中用于表示信息的信号不可能是单一的确定的, 而是各种不同的信号。信息就包含于出现这种或那种信号之中.例如二元信息需用二种信号表示, 具体出现哪个信号是随机的,不可能准确予测( 如能予测,则无需通信了) 我们称这种具有随机性的信号为随机信号。 通信系统中存在各种干扰和噪声,这些干扰和噪声的波形更是各式各样,随机的不可予测的.我们称其为随机干扰和随机噪声。 尽管随机信号和随机干扰（噪声）取何种波形是不可预测的、随机的，但他们具有统计规律性。研究随机信号和随机干扰统计规律性的数学工具是随机过程理论。随机过程是随机信号和随机干扰的数学模型。,第3章 随机过程,2,第3章 随机过程,研究什么
2、？,3,3.1 随机过程的基本概念,角度1：对应不同随机试验结果的时间过程的集合。,随机过程是一类随时间作随机变化的过程。,【例】n 台示波器同时观测并记录这 n 台接收机的输出噪声波形。,样本函数i ( t )：随机过程的一次实现，是确定的时间函数。,随机过程： ( t ) = 1 (t), 2 (t), , n (t)是全部样本函数的集合。,随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻它是随机变量。随机过程的具体取值称作其实现（样函数）是时间函数，所有实现（样函数）构成的集合称作随机过程的样函数空间（），所有样函数及其统计特性即构成了随机过程，我们以大写字母X(t)，Y(t)等表示随机过程
3、，以对应的小写字母x(t)，y(t)等表示随机过程的实现（样函数）。,4,3.1 随机过程的基本概念,随机过程的数学定义： 设 Sk ( k=1, 2, ) 是随机试验。 每次试验都有一条时间波形（称为 样本函数 或 实现），记作 i(t )，所有可能出现的结果的总体 1(t ) , 2(t ) , , n(t ) , 就构成一个随机过程，记作 (t )。,两层含义： 随机过程 (t )在任一时刻都是随机变量； 随机过程 (t )是大量样本函数的集合。,简言之， 无穷多个样本函数的总体 称为随机过程。,5,3.1 随机过程的基本概念,角度2：随机过程是随机变量概念的延伸。,在任一给定时刻 t1
4、上，每一个样本函数i ( t ) 都是一个确定的数值i ( t1 )，但是每个i (t1)都是不可预知的。 在一个固定时刻 t1上，不同样本的取值 i ( t1 ), i = 1, 2, , n 是一个随机变量，记为 ( t1 )。,随机过程在任意时刻的值是一个随机变量。,因此，随机过程看作是在时间进程中处于不同时刻的随机变量的集合。,6,3.1 随机过程的基本概念,3.1.1 随机过程的分布函数,设 (t)表示一个随机过程，则它在任意时刻t1的值 (t1)是一个随机变量，其统计特性可以用分布函数或概率密度函数来描述。,随机过程 (t)的一维分布函数：(反应分布情况),随机过程 (t)的一维概
5、率密度函数：,7,3.1 随机过程的基本概念,任给两个时刻 t1, t2T，则随机变量 (t1)和 (t2)构成一个二元随机变量 。,随机过程 (t) 的二维分布函数：,随机过程 (t)的二维概率密度函数：,随机过程 (t)的N维分布函数、 N维概率密度函数：,8,3.1 随机过程的基本概念,3.1.2 随机过程的数字特征,9,3.1 随机过程的基本概念,均值（数学期望）,随机过程 (t) 在任意时刻 t 的数学期望为：,a (t ), (t) 的均值是时间的确定函数，常记作 a( t )，它表示随机过程的 n 个样本函数曲线的摆动中心。,10,3.1 随机过程的基本概念,方差,均值平方,均方
6、值,所以，方差等于均方值与均值平方之差，它表示随机过程在时刻 t 对于均值 a ( t )的偏离程度。,D(t)常记为2(t)。,定义,11,3.1 随机过程的基本概念,随机过程的二维数字特征, 自协方差函数,式中 a( t1 ) 、a( t2 ) 在 t1 和 t2 时刻得到的 (t)的均值； f2 (x1, x2; t1, t2) (t) 的二维概率密度函数。, 自相关函数,自协方差函数和自相关函数-用来衡量任意两个时刻上获得的随机变量的统计相关特性,12,3.1 随机过程的基本概念, 自相关函数与自协方差函数的关系,若a(t1) = a(t2) = 0，则,若 t2 t1，并令 t2 =
7、 t1 + ，则 R(t1, t2) 可表示为 R(t1, t1+ ) 。这说明：相关函数依赖于起始时刻 t1 以及 t2 与 t1 之间的时间间隔 ，即相关函数是 t1 和的函数。,即引入时间间隔， 自相关函数可定义为 R(t1，) = E ( t ) ( t + ),归一化协方差函数相关系数：,若x(t1,t2)=0(或Cx(t1,t2)=0)，则称(t1) 和(t2) 不相关,13,3.1 随机过程的基本概念,两随机过程的联合分布函数和数字特征,令:X(t) , Y(t)为两个随机过程 联合分布函数和概率密度,n+m维随机向量的联合分布函数定义为： n+m维联合概率密度函数定义为：,14
8、,3.1 随机过程的基本概念,互相关函数与互协方差函数,则互协方差函数为,互相关函数为,15,3.1 随机过程的基本概念,例3-1 试求下列均匀概率密度函数的数学期望和方差。,解：,16,3.2 平稳随机过程,3.2.1 平稳随机过程定义,严平稳随机过程（狭义平稳）,若一个随机过程 (t) 的任意有限维分布函数与时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数 n 和所有实数，有,则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程，简称 严平稳随机过程。,17,3.2 平稳随机过程,平稳随机过程 (t) 的特点, 一维概率密度函数与时间 t 无关，即 f1(x1, t1) = f1(x1), 二维概率密度函数
9、与时间起点无关，只与时间间隔 有关，即 f2(x1, x2; t1, t2) = f2(x1, x2;), 平稳随机过程的数学期望 与时间无关, 平稳随机过程的方差 与时间无关, 自相关函数 只与时间间隔 有关,18,3.2 平稳随机过程,广义平稳随机过程（宽平稳）,平稳随机过程的数学期望及方差与 时间t无关，它的自相关函数和协方差函数只时间间隔有关；随机过程的这种“平稳”数字特征，有时就直接用来判断随机过程是否平稳。 若随机过程 (t) 的数学期望及方差与时间 t 无关，其自相关函数只与时间间隔有关，即,则称 (t) 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过程。,注意：严平稳随机过程必定是广义平稳的
10、， 反之不一定成立。,19,3.2 平稳随机过程,3.2.2 平稳随机过程各态历经性,问题的提出： 能否从一次试验中得到的一个样本函数 x(t )来决定平稳过程的数字特征呢? 回答： 具有各态历经性的过程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间平均值来代替。,则称该平稳随机过程具有各态历经性。,即,20,3.2 平稳随机过程,“各态历经”的含义：随机过程中的任一实现都经历了随机过程的所有可能状态。因此，我们只需从任意一个随机过程的样本函数中就可获得它的所有的数字特征，从而使“统计平均”化为“时间平均”，使实际测量和计算的问题大为简化。 若随机过程 X(t)的所有统计平均特
11、性和其样函数所有相应的时间平均特性以概率为一相等, 则称X(t) 为严遍历过程或窄义遍历过程.,注意：具有各态历经性的随机过程必定是平稳随机过程，但平稳随机过程不一定是各态历经的。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经条件。,21,例3-2 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2)内均匀分布的随机变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望,3.2 平稳随机过程,22,自相关函数 令t2 t1 = ，得到 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关，只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。,3
12、.2 平稳随机过程,23,(2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。,3.2 平稳随机过程,24,3.2 平稳随机过程,3.2.3 平稳随机过程自相关函数的性质,R(0) = E2(t) = S (t) 的平均功率 R() = E2(t) (t) 的直流功率 R() = R(-) R() 是的偶函数 | R() | R(0) R()的上界，即自相关函数 在 = 0 时有最大值R(0) 2 = R(0) R() 方差， (t) 的交流功率,设(t)为实平稳随机过程，则它的自相关函数R()=E(t) (t+) ，具有下列性质：,当均值为 0 时，有
13、2 = R(0),25,3.2 平稳随机过程,3.2.4 平稳随机过程的功率谱密度,一、功率谱密度的定义,令: 是实平稳随机过程X(t)，x(t)为其实现，因为X(t)功率信号，所以x(t)也为功率信号，因为任意的确定功率信号x(t)，它的功率谱密度Px(f)可表示成,式中，xT(w)是x(t)的截短函数xT(t)之频谱函数。 平稳随机过程X(t)的功率谱密度PX(f)为:,26,3.2 平稳随机过程,平稳随机过程的功率谱密度 P() 与其自相关函数 R() 是一对傅里叶变换关系，即：,或,二、维纳辛钦定理 平稳随机过程的功率谱密度和相关函数的关系,27,3.2 平稳随机过程,当 = 0 时，
14、对功率谱密度（PSD）进行积分，则得到随机过程(t) 的总功率,三、平稳随机过程功率普密度的性质,非负性 P() 0,偶函数 P() = P(-),例3-2 求随机相位余弦波 (t) = Acos(ct + )的自相关函数和功率谱密度。P44,28,3.3 高斯随机过程,3.3.1高斯过程定义,若随机过程(t)的任意 n 维（n = 1,2,）分布都是正态分布，则称它为高斯随机过程或正态过程。,n 维正态概率密度函数表示式为,高斯过程，也称正态随机过程，是一种常见而又重要的随机过程，如通信系统中的噪声就是典型的高斯过程。,式中，,|B| 归一化协方差矩阵的行列式,29,3.3.2 高斯随机过程
15、的主要性质,3.3 高斯随机过程,高斯过程的 n 维分布完全由 n 个随机变量的 数学期望、方差 和 两两之间的归一化协方差函数 所决定。因此，对于高斯过程，只要研究它的数字特征就可以了。 若高斯随机过程是广义平稳的，则也是严平稳的； 若高斯随机过程的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的； 高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯过程。,30,3.3.3一维高斯随机过程,高斯过程在任一时刻上的样值是一个一维高斯随机变量，其一维概率密度函数可以表示为:,3.3 高斯随机过程,式中，a 为数学期望，2 为方差，均为常数。,31,其一维概率密度函数性质：,f (x) 对称于直线 x
16、= a；,3.3 高斯随机过程,，且有,当 a 不变时， f (x) 图形将随着的减小而变高变窄；（ a 表示分布中心， 表示集中程度）,当 a = 0，= 1时， f (x) 为标准正态分布的概率密度函数,32,3.3.4 正态分布函数,正态分布函数是概率密度函数的积分，即,3.3 高斯随机过程,用误差函数表示正态分布函数,经过变量代换得到正态分布函数,式中，erf(x) 是误差函数 erfc(x) 是互补误差函数,33,3.3 高斯随机过程,误差函数,是自变量 x 的递增函数,erf (0) = 0，erf () = 1，erf (-x) = -erf (x),互补误差函数,是自变量 x 的递减函数,erfc (0) = 1，erfc () = 0，erfc (-x) = 2 - erf (x),当x 2时，,34,3.4 平稳随机过程通过线性系统,信号与系统，线性系统的响应和输入信号之间的关系？ 时域时，vo(t)、vi(t) 和 h(t) ? 频域时，Vo(f)、Vi(f) 和 H(f) ？,
