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1、第五章 工程研究的基本理论和方法,5.1 量纲分析理论 5.1.1 量纲与量纲的特性 一、单位和量纲1、物理量的度量体系 描述现象或物体可定量测量的属性称为物理量。 对客观事物某些特征的度量，若无明确的度量单位， 其含义则是含混的。 数学模型中的测量值通常都是以物 理量的形式出现。 物理量分为基本物理量和导出的（衍生的）物理量两 大类。 物理量的度量体系由基本物理量及其度量单位所确定.,1,2、单位 量度各种物理量数值大小的标准量，称单位。如长度 单位为m或cm等。（涉及物理量的性质和数值大小） (量纲 表征物理量的性质和类别) 单位分为基本单位、导出单位和辅助单位三类。 现在通用的国际单位制
2、（SI制），由七个基本单位组 成。,2,其他物理量的单位将由这七个基本单位通过物理关 系导出。下表列出了几个常用的物理量及其单位。,3,3、量纲 （1）定义 指撇开单位的大小后，表征物理量的性质 和类别的表达式。 如长度量纲为L。 （2）量纲的分类 基本量纲 具有独立性的，不能由其他量纲推导出来 的量纲。 诱导量纲 可由基本量纲导出的量纲。 4、量纲表达式物理量Q的量纲一般都可以表示为基本量的幂的乘积： dimQ=LaMbTcdIeJfNg 或者 Q= LaMbTcdIeJfNg式中 a,b,c,d,e,f,g量纲指数。 常用量纲 几何学量纲：0，其余= 0； 运动学量纲：0，c0，其余= 0
3、； 动力学量纲：0，b0，c0，其余= 0,4,例题5-1 试以长度L、质量M和时间T为基本量纲， 确定动力粘度的量纲表达式。 解： 从基本量纲L、M、T可以确定加速度的导出量 纲表达式为LT-2，力（F）的导出量纲表达式为 F=MLT-2，面积的量纲表达式为A=L2。 写出切应力的物理表达式 又因为 将各量纲表达式代入切应力表达式，则 所以,5,5、无量纲数（纯数，相似准数） 若量纲指数a,b,c,d,e,f,g均为0,称其为无量纲量，记 为：Q= 1 特点： （a）无量纲单位，它的大小与所选单位无关； （b）具有客观性； （c）在超越函数（对数、指数、三角函数）运算 中，均应用无量纲数。
4、应注意：无量纲量不一定是无单位的量，如角度。 无量纲常数 组成该无量纲量中的量纲仅与某些常数 （运动粘度）,（热扩散率）,D（扩散系数）等有关。 无量纲参数 组成该无量纲量中的某些量纲起着运动 参数（如：速度）或动力参数（如：温度差、浓度差）的 作用。,6,二、量纲的特性,1、量纲和谐性表现物理规律的方程中，其方程两边的量纲应相同， 同名物理量应采用同一种单位，此为物理方程的量纲和 谐性。 量纲和谐原理的重要性： a. 可用来确定公式中物理量的指数。 b. 可用来检验经验公式的正确性和完整性。 c. 可用来建立物理方程式的结构形式。 2、量纲的独立和非独立条件量纲独立性是指任何n个量的结合（包
5、括代数运算等 ），不能产生第三个量的量纲。,7,量纲独立性判断： 以由三个量纲量组成的物理量为例，说明判断过程。 a1,a2,a3量纲量。 设a的量纲分别为 要使Xj变为无量纲量，必须满足条件 Xj=L0T0M0,8,即 0时，线性方程只有xj=yj=zj=0的解，则 a1,a2,aj3 为具有互相独立量纲的量 =0时，线方程可以有xj、yj、zj的数值解，Xj 成为无 量纲量，则a1,a2,a3为量纲上不互相独立的量。 当所研究的参量的数目大于3个时，则要取其中任何可 能的3个参量，照上述方法进行验算，以确定其量纲的独 立或不独立性。,9,三、完整集合中无量纲乘积的数目,定理： 在一个完整的
6、集合中，无量纲乘积的数目等于独 立变量的总数减去它们量纲矩阵的秩（r）。 或者 独立变量总数-基本量纲数目=无量纲乘积数目 雷诺数、付里叶准数等就是某些无量纲乘积的完整集合。,10,5.1.2 量纲分析,一、柏金汉量纲分析法 1、定理 若物理方程f(x1，x2,xn)=0中，含有n个物理量， 其中k个是具有互相独立量纲的物理量，并且保持量纲的 和谐性。则该物理方程可简化为： F(1，2,n-k)=0，或 1=(2, 3,n-k) 2、定理解题步骤：（1）确定关系式：根据所研究的现象，确定影响该现 象的各个物理量及其关系式:f(x1，x2,xn)=0（2）确定基本量：从n个物理量中选取所包含的k
7、个 有独立量纲的物理量作为基本量的代表。,11,f(x1，x2, xk， xk+1， ,xn)=0 x1，x2, xk为有独立量纲的物理量； xk+1， ,xn为无独立量纲的物理量。 即: xk+1， ,xn均可用x1，x2, xk表示出来。 xk+1=g（ x1，x2, xk ） 独立变量 i=1，2，3，.k 非独立变量 则1。 j 为无量纲的参数,12,（3）确定数的个数N（）=（n-k），并写出其余物 理量与基本物理量组成的表达式 i=1，2，3，k； j=1，2，.n-k （4）确定无量纲参数：由量纲和谐原理解联立指数 方程，求出各项的指数i，从而定出各无量纲参数。 参数分子分母可以
8、相互交换，也可以开方或乘方，而不改 变其无因次的性质。 （5）写出描述现象的关系式 F(1，2,n-k)=0。,13,3、例如 k=3 xk+1=x1a1x2a2x3a3 根据xk+1中的基本量和x1a1x2a2x3a3 中的基本量， 进行比较和计算，解出a1,a2,a3, 带入到1，所得到1便 是无量纲参数。,14,二、瑞利量纲分析 法瑞利法是量纲和谐原理的直接应用 瑞利法的计算步骤：1. 确定与所研究的物理现象有关的n 个物理量： y= f(x1，x2,xn)2. 写出各物理量之间的指数乘积的形式，如： 3. 根据量纲和谐原理，确定物理量的指数k1,k2,k3,k4, 代入指数方程式即得各
9、物理量之间的关系式。 说明：应用范围：一般情况下，要求相关变量未知 数n小于等于45个。 导出的相似准数中含有无量纲常数C和待定常 数k4，通常通过研究现象的实验加以确定。,15,三、两种分析方法的比较 柏金汉法 解函数关系式；要挑选出k个有独立量纲 的量。瑞利法 用无限级数代替函数关系式；n5；有待 定常数需靠实验得出。,16,例题5-3 根据实验和分析得知，粘性不可压缩流体 的管内流动，其临界速度uc与管径d、流体密度及流体 的动力粘度有关，即： uc= f（d、） 据雷利因次分析法，上式可改写为： uc= Kdx1x2x3 式中x1、x2、x3分别为d、各物理量的待定指 数；K为无因次比
10、例常数。 写出上式等式两边的因次得： LT-1=Lx1 ML-3x2 ML-1T-1x3 根据因次和谐性原理，等式两边的因次应该相等，于 是：,17,解上述联立方程，得： X1= -1，X1= -1，X1= +1 将X1，X2，X3代入原式，得： 于是： 显然，上式右边为由临界速度等物理量所组成的雷诺 数，故可称K为临界雷诺数，常用符号Rec表示。即：,18,例题5-4 设根据观察分析，影响管流现象的因素有 管内平均流速u，流体密度，管道直径d，管长，流体 的动力粘性系数，管壁粗糙度。试用定理确定水平有 压管道压力损失p的函数关系式及相似准数。 解： 根据上列影响因素可写成函数关系： f（p、
11、u、d、）= 0 已知变量个数为7。选u、d、三个互为独立的变 量为基本物理量，这三者包含了LMT三个基本因次。通 常选一个代表几何的量，一个表征运动的量，另一个是 与力或质量有关的量。写出73 = 4个项如下：,19,根据分子分母的因次应该相同，可求出各项中的指数 （x1，y1，z1），等数值。现以1为例： 对M有 1=z1 对L有 -1=x1+y1- 3z1 对T有 -2= - x1 解得：x1=2；y1=0；z1=1 代入原式，得：,20,同理可得： 于是转化后的无因次函数方程式为 f（1，2，3，4）= 0 或 1=f（2，3，4） 即：,21,量纲分析方法小结,1、可以解决下述问题：
12、（1）有利于建立统一协调的单位系统；确定经验公式 中两种单位制的转换因子。（2）推导物理量的量纲。（3）校核由理论推导出来的代数方程式，确定无量纲 乘积集合的完整性。（4）通过研究各个无量纲乘积阶的大小，可以确定各 物理参量的相对重要性。（5）把包含若干个变量的函数式转换为包括几个无量 纲数的函数式。准数方程减少了独立变数的数量，减少 实验工作量。（6）研究某物理现象时，可以先推导出一个完整集合 的无量纲乘积，再根据定理及相关实验来确定描叙该现 象的方程。,22,2、容易出现的问题（1）没有正确地选择有关的物理量。（2）遗漏了某些有量纲的常数。（3）量纲相同，而物理意义不同的量容易混淆。（4）
13、量纲分析法一般没有考虑物理现象的单值性条 件。,23,5.2 相似理论5.2.1 相似概述,一、相似理论的发展概况解决复杂的实际工程问题，直接采用数学分析法极其困 难，因此需要依靠实验研究来解决。为了减少实验工作 量，并提高实验结果的准确度和应用的广度，所以便发展 出了相似理论。 1848年，法国的伯特朗(JBertrand)在分析力学方程 的基础上确定了相似现象的基本性质。并提出了相似第一 定理。“凡相似的现象，其相似准数相等”。,24,1931年，苏联学者基尔皮乔夫和古赫曼提出了相似第 二定理，“凡同一类现象(即都被同一完整方程组所描述 的现象)，当单值条件相似，而且由单值条件的物理量所
14、组成的相似准数相等，则这些现象就必定相似”。 1911年，俄国学者费德尔曼提出了相似第三定理(又称 兀定理)。“描述其现象的各种量之间的关系可表示成相 似准数1，2,n之间的函数关系，即：F(1，2, ,n)=0。 这种关系式称为“准数关系式”或“准数方程式”。 目前相似理论已成为一门完整的学科，它是最先进的科 学研究方法之一。,25,二、相似现象的相似性质,(1)凡相似的现象都属于同一种类的现象。可用文字或 形式上完全相同的完整方程组来描述(包括描述现象的基 本方程及描述现象单值条件的方程)。 (2)用来表征这些现象的一切物理量的场都相似。 (3)相似现象必然发生在几何相似的空间中。即：凡
15、相似的现象，其边界条件必定相似。 (4)由性质(2)得知，相似现象的对应量互成比例。由 性质(1)得知，由这些量组成的方程组又是相同的。所以 各物理量的比值(相似倍数)是彼此既相互联系，又相互约 束。,26,三、近似模化和类似,相似三定理规定的所有相似条件通常很难全部实 现。 只需要满足为保证实验结果具有足够的准确性所必 须满足的几个重要的相似条件。该研究方法称为近似模 化法。 把那些过程的内容不同，而描述它们的数学方程的 形式相同的现象称为类似现象。,27,5.2.2 相似原理与相似条件一、物理现象之间的相似情况,1、同类相似指两个物理现象都遵从相同的自然规律，可用相同的数学方程组 来描述，而且两种物理现象所包含的诸物理量具有相同的物理性质 (称为同名量)。则它们属于同类相似或简称相似。 2、异类相似若两物理现象之间虽然在形式上可用相同的数学方程组来描述， 但方程组内所含的参量具有不同的性质，这种不同类现象之间的相 似称为异类相似或者类似。不同类系统间存在的这种异类相似性在人工智能、电模拟、系统 仿真等领域都有广泛的应用。 3、类比通过对一种现象的研究去了解其变化的数学规律相同而物理性质 不同的另一种现象，称为类比。,28,二、几种常见的相似,1、几何相似 相似三角形 2、物理量相似 式中 C
