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1、1,arc length,第一节 对弧长的曲线积分,第十一章 曲线积分与曲面积分,实例,匀质之质量,分割,求和,取极限,取近似,曲线形构件的质量,一、问题的提出,2,二、对弧长的曲线积分的概念,设L为 xOy面内一条光滑曲线弧,在L上有界.,作乘积,并作和,在L上任意插入一点列,把L分成n个小段.,设第i个小段的,第i个小段上任意取定的,长度为,一点,如果当各小弧段的长度的最大值,这和的极限存在,则称此极限为,在曲线弧 L,对弧长的曲线积分,或,第一类曲线积分.,3,曲线形构件的质量,即,积分和式,被积函数,弧元素,积分弧段,记作,2. 存在条件,对弧长的曲线积分,连续,对弧长的曲线积分为,5
2、,在一条光滑(或分段光滑)的,是L上关于x 的奇函数,是L上关于x 的偶函数,L1是曲线L落在y 轴一侧的部分.,在分析问题和算题时常用的,L关于y轴 对称,补充,对称性质,曲线L上连续,则,当,(或y),(或y),当,(或x轴),(或x),6,例,其中L是圆周,解,因积分曲线L关于,被积函数x是L上,被积函数,因积分曲线L关于,对称性,计算,得,是L上,y轴对称,关于x的奇函数,x轴对称,关于y的奇函数,7,三、对弧长曲线积分的计算,定理,其中,则,有定义且连续,具有一阶连续导数,化为参变量的定积分计算,8,对弧长的曲线积分要求,定积分的下限,一定要小于上限,!,特殊情形,(1),(2),9
3、,(3),推广,或,此时需把它化为参数方程,再按上述方法计算.,?,为参数),10,例,解,例,解,11,，在第一象限中所围图形的边界.,提示,解,故,12,几何意义,四、几何意义与物理意义,弧长,解,设下半圆周的参数方程,则,13,例,解,由于,有,的方程中的x, y, z的地位完全对称,对弧长曲线积分的概念,对弧长曲线积分的计算公式,五、小结,(四步:分割、取近似、求和、取极限）,(弧长曲线给出几种不同形式方程的计算公式),14,curvilinear integral,第二节 对坐标的曲线积分,变力沿曲线所作的功,常力沿直线所作的功,分割,实例,？,一、问题的提出,15,求和,取极限,取
4、近似,取,即,16,二、对坐标的曲线积分的概念,设L为xOy面内从点A到点B的一条有向光滑,用L上的点:,把L分成n个有向小弧段,曲线弧,在L上有界.,上任意取定的点.,17,如果当各小段长度的最大值,的极限总存在,记作,则称此极限为函数,在有向曲线弧 L上,或称,第二类曲线积分.,对坐标x的曲线积分,即,18,类似地定义,称,在有向曲线弧 L上,对坐标y的曲线积分.,在光滑曲线弧L上,“点积”形式,第二类曲线积分存在.,连续,其中,19,空间有向曲线弧,类似的,也有简写形式,或者向量形式,其中,20,L1,L2,(2),则,(1) 线性性质,(3),有向曲线弧,则,21,对坐标的曲线积分与,
5、曲线的方向有关.,所以对坐标的曲线积分应该特别注意积分弧段的方向！,对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.,三、对坐标的曲线积分的计算,思想是,因此下限应是起点的坐标,化为定积分计算.,上限是终点的,坐标.,22,定理,连续,且,23,(1) 对坐标的曲线积分的计算同样是转化为定积分。 (2) 转化为定积分只要做两个工作： 代换(将函数中的x,y 代换为曲线的参数方程)； 定 限(确定 积分的上下限，与第一类曲线积分不同)。 (3) 由于第二类曲线积分与方向有关，所以转化为定积分 必须是下限对应于弧线的起点，上限对应于终点，上 限未必大于下限。 (4) 本公式也表示：,可见：,24,特殊情形,(1
6、),则,(2),则,25,(3),推广,26,例,解,(1),(2),27,其中是由点A(1,1,1)到点B(2,3,4)的直线段.,直线AB的方程为,解,化成参数式方程为,于是,例,A点对应,B点对应,28,其中是由点A(3,2,1)到点B(0,0,0)的直线段.,练习,29,例,(1) L是上半圆周 反时针方向;,解,A点对应,(2) L是x轴上由点 到点 的线段.,(1)中L的参数方程为,B点对应,其中,原式=,(2) L的方程为,原式=,30,其中L为,例,(1) 抛物线y=x2 上(0,0)到(1,1)的一段弧,(2) 抛物线x=y2 上(0,0)到(1,1)的一段弧,(3) (0,
7、0)到(1,0)再到(1,1)的折线,解,所以,(1) 积分弧段为,可见，同一曲线积分，虽然路径不同，但结果也可能相同，即此时积分结果和路径无关,同样可计算(2)(3)，并且注意到积分结果？,31,例,的方向就是向量,解,质点在M(x,y)处受到力 的作用， 的大小与M到原点的距离成正比， 的方向恒指向原点，此质点由点A(a,0)沿椭圆 按逆时针方向 移动到点B(0, b),求 所做的功,的反方向.,其大小与此向量的模成正比,由第二类曲线积分的物理意义,所以假设,其中k0，为比例常数,32,椭圆的参数方程为,起点对应的参数为0，终点对应的参数为,33,补充,在分析问题和算题时常用的,L在上半平
8、面部分与,P(x, y)为,P(x, y)为,其中L1是曲线L的上半平面的部分.,类似地,对称性质,对坐标的曲线积分,当平面曲线L是分段,光滑的,关于,下半平面部分的走向相反时,x 轴对称,则,y的偶函数,y的奇函数,的讨论也有相应的结论.,对,34,四、两类曲线积分之间的关系,设有向平面曲线弧为,则,有向曲线弧L的切向量为,35,可用向量表示,有向曲线元,则,推广,空间曲线,36,例,解,所以,把对坐标的曲线积分,化为对弧长的曲线积分.,其中L为沿抛物线,从点(0,0)到(1,1).,37,对坐标曲线积分的概念,对坐标曲线积分的计算,两类曲线积分之间的联系,五、小结,四步:分割、取近似、求和
9、、取极限,思想:化为定积分计算,对坐标曲线积分的物理意义,变力沿曲线所作的功,关于曲线方向的性质,注意:,对坐标的曲面积分的性质,38,第三节 格林公式及其应用,1. 区域连通性的分类,设D为平面区域,复连通区域,单连通区域,否则称为,则称D为平面,复连通区域.,成的部分都属于D,如果D内任一闭曲线所围,单连通区域,一、格林公式,39,格林定理(定理1),设闭区域D由分段光滑的,曲线L围成,在D上具有,一阶连续偏导数,则有,2. 格林公式,公式(1)称,其中L是 D的取正向的边界曲线.,格林公式.,40,当观察者沿边界行走时,(1) P、Q在闭区域D上一阶偏导数的连续性;,(2) 曲线L是封闭
10、的,并且取正向.,注,规定,边界曲线L的正向,区域D总在他的,左边.,41,(1)先对简单区域证明:,证明,若区域D既是,又是,即平行于坐标轴的直线,和L至多交于两点.,42,同理可证,43,(2) 再对一般区域证明:,若区域D由按段光,(如图),将D分成三个既是,又是,的区域,滑的闭曲线围成.,44,45,格林公式的实质,之间的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与,二重积分,46,(1) 计算平面面积,3. 简单应用,格林公式,得,闭区域D的面积,例 求椭圆,解,由公式,得,D,所围成的面积.,47,(2) 简化曲线积分,例,其中L为圆周,解,由格林公式有,的正向.,对平面闭曲线上的对坐标曲线积分
11、,比较简单时,常常考虑通过格林,公式化为二重积分来计算.,48,(3) 简化二重积分,则,解,令,例,为顶点的三角形闭区域.,格林公式,49,1987年研究生考题,填空(3分),解,由格林公式,50,解,记L所围成的闭区域为D,其中L为一条无重点,分段光滑且不经过原点的连续闭曲线,L的方向为逆时针方向.,例,令,有,51,即L为不包围原点,的任一闭曲线.,即L为包围原点在内的任一,闭曲线.,由格林公式,应用由格林公式,得,作位于D内圆周,52,注意格林公式的条件,其中l 的方向取,逆时针方向,53,练习,计算,L是圆周:,如把圆周写成参数方程:,再将线积分化为定积分计算,用格林公式易求.,答案
12、:,分析,则过程较麻烦.,54,B,如果在区域G内有,二、平面上曲线积分与路径无关的条件,A,L1,L2,1. 平面上曲线积分与路径无关的定义,否则与路径有关.,则称曲线积分,在G内,与路径无关,55,定理2,设开区域G是一个单连通域,在G内恒成立.,函数P(x,y),Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积分,在G内与路径无关,(或沿G内任意闭,曲线的曲线积分为零)的,充要条件是,2.平面上曲线积分与路径无关的条件,两条件缺一不可,56,其中L为,例,(1) 抛物线y=x2 上(0,0)到(1,1)的一段弧,(2) 抛物线x=y2 上(0,0)到(1,1)的一段弧,(3) (0,0)到
13、(1,0)再到(1,1)的折线,结果相同，即此时积分结果和路径无关,57,三、二元函数的全微分求积,考虑表达式,如果存在一个函数,使得,则称,并将,全微分式,为一,原函数.,58,由,例,可知:,都是,分别是上面的,原函数.,全微分式.,59,定理3,设开区域G是一个单连通域,函数P(x,y),Q(x,y) 在G内具有一阶连续偏导数,则,下面说明一般怎样,在G内恒成立.,在G内为某一函数,的全微分的,充要条件是等式,求原函数,判断全微分式,60,必要性.,由设P、Q的偏导数连续,因而,即,设存在某一函数,证,于是,连续.,所以,使得,61,充分性.,设已知条件,由定理2可知:,当起点M0(x0
14、,y0)固定时,在G内恒成立.,则,于是把曲线积分写作:,上述积分是x, y的函数,记为,即,曲线积分在区域G内与路径无关.,M(x,y).,起点为M0(x0,y0),终点为M(x,y)的,此积分的值取决于终点,62,可以证明函数u(x,y)的全微分就是:,因为P(x,y),Q(x,y)都是,因此只要证明,(1) 偏导数定义,(3) 积分中值定理.,(2) 曲线积分与路径无关,其中用到下面的知识点:,连续的.,63,D(x0 , y1),或,则,64,例,问 是否为全微分式?,用曲线积分求其一个原函数.,如是,解,在全平面成立,所以上式是全微分式.,因而一个原函数是：,全平面为单连通域，,法一
15、,(x,y),65,这个原函数也可用下法“分组”凑出:,法二,66,因为函数u满足,故,从而,所以,问 是否为全微分式?,用曲线积分求其一个原函数.,如是,由此得,y的待定函数,法三,67,解,积分与路径无关,1989年研究生考题, 计算,5分,设曲线积分,与路径无关,具有连续的导数,例,即,68,(1,0),法一,法二,69,2002研究生考题(数学一) 8分,内具有一阶连续导数,L是上半平面 (y 0)内的有向分段光滑曲线,其起点为(a, b),终点为(c, d).,记,(1) 证明曲线积分I 与路径L无关;,(2) 当ab = cd 时,求I 的值.,证,因为,所以在上半平面内曲线积分I 与路径L无关.,(1),70,解,(2),由于曲线积分I 与路径L无关,所以,法一,解,(2),法二,设F(x)为f(x)的一个原函数,则,由此得,71,格林公式,四、小结,单(复)连通区域的概念,格林公式的三个应用,格林公式的实质,的联系.,沟通了沿闭曲线的积分与二重积分之间,注意使用条件,72,与路径无关的四个等价命题,条件,在单连通开区域D上,具有,连续的
