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1、常 微 分 方 程,主讲教师： E-mail: C,新课导入,1. 课程介绍：,2. 最终成绩评定方式：,最终成绩=平时成绩(30分)+期末考试成绩（70分）,平时成绩=平时作业（53=15分）+出勤（53=15分）,1.什么是微分方程？ 含有自变量，未知函数及其导数的关系式称为 微分方程。 2.什么是常微分方程？ 联系自变量、未知函数及未知函数导数（或微分）的关系式称为微分方程；常微分方程是只含有一个自变量的微分方程； 常微分方程则是研究含有一个自变量的微分方程的求解方法及解的性质的科学。 研究对象：只含一个自变量的微分方程。 基本任务：求解问题及解的性质。,什么是常微分方程？,1.社会学中
2、的Malthus人口模型,2.种群生态学中的Logistic虫口模型,3.医学中的传染病动力学模型,应用举例,5.电学中的R-L-C电路模型,4.力学中的变力作用模型,8.气象学中的长期天气预报不可能问题,7.原子物理学中的裂变问题模型,6.热学中的物体冷却模型,应用举例,赝品的鉴定,基本概念,1.常微分方程与偏微分方程：,3.线性常微分方程与非线性常微分方程：,2.常微分方程的阶：,5.常微分方程的显式解和隐式解：,6.常微分方程的特解（特积分）与通解（通积分）：,7.常微分方程定解问题的提法：,4.齐次微分方程和非齐次微分方程：,8.初等积分法求解常微分方程：,作业与思考,练习1：列车在平
3、直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度0.4米/秒,试建立该问题的微分方程模型，并求列车开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？,练习2：数学摆模型,数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.,一定质量的镭，随着时间的变化，它的质量会减少。已知裂变速度与它的存余量成正比，假设时刻 t 镭的质量 R。 分析：很难直接得到 R 与 t 函数关系，但却容易建立变量之间的一个微分方程：,这里 为比例常数。借助于微积分知识，可 对方程求解。原方程变形为,例：镭的裂变模型
4、,两端积分得：,亦即,注意到初始条件：,即得,于是,这里的比例常数可通过实验获得。,例1的解决过程就是数学建模的过程。,返回,解 设制动后 t 秒钟行驶 s 米，s=s(t) , 则,注意到在 t=0 时，,练习1：列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度0.4米/秒,问开始制动后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内行驶了多少路程？,于是,代入条件后知：,从而,故从开始制动到列车完全停住共需 秒。,练习2： 求平面上过点(1,3)且每点切线斜率为横坐标2倍的曲线方程.,解: 设所求的曲线方程为,由导数的几何意义, 应有,即,又由条件: 曲线过(1,3), 即,于
5、是得,故所求的曲线方程为:,例2. 长期天气预报不可能问题 为了刻划空气气流对流的规律，Lorenz 得到了如下的微分方程组,这里，x 正比于对流运动强度，y 正比于水平方向温度的变化，z 正比于竖直方向温度的变化，参数,为正常数。,通过对 Lorenz 方程组稳定性的讨论，可得 到长期天气预报的不可能性。 另外，人口模型、传染病模型、水波运动模 型、光纤通讯中脉冲波胞的传输模型等等，均是 微分方程模型。,返回,Kermack-McKendrick的SIR仓室模型,所谓仓室模型就是针对某类传染病的传播特征和环境情况将某地区的人群（或某一种群）分成三类：,易感者类：其数量记为S(t),表示t时刻
6、尚未染病但有可能被该类病菌或病毒感染的个体数； 染病者类：其数量记为I(t),表示t时刻已经染病并且有感染力的个体数； 移出者类：其数量记为R(t),表示t时刻从染病中康复后移出的个体数；,SIR模型的三个基本假设：,（1）不考虑人口的出生与死亡，环境封闭（没有流入和流出），从而成员的总数始终保持一常数K,即：,（2）一个染病者一旦与易感者接触就必然有一定的感染力。假设t时刻单位时间内已染病者传染易感者的数目与此时此刻易感者的数量S(t)成正比，比例系数为 ；,（3）假设t时刻单位时间内从染病者中康复后移出的成员数与此时此刻已感染者的数量I(t)成正比，比例系数为 ，并且假设康复者具有永久免疫
7、力，康复后不会再次被此疾病感染；,S(易感者）,I（染病者）,R（移出者）,SIR模型传染病示意图,对每一仓室的成员变化率建立平衡方程式，变得到了下面经典的SIR模型：,返回,例3. 物理冷却过程的数学模型,将某物体放置于空气中, 在时刻,时, 测得它的温度为,10分钟后测量得温度为 试决定此物,体的温度 和时间 的关系,并计算20分钟后物体的温度. 这 里假设空气的温度保持在,解: Newton 冷却定律: 1. 热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导; 2. 在一定的温度范围内,一个物体的温度变化速度与这一物体的温度与其所在的介质的温度之差成正比.,设物体在时刻 的温度为 根据导数的物理
8、意义, 则 温度的变化速度为 由Newton冷却定律, 得到,其中 为比例系数. 此数学关系式就是物体冷却过程的数学模型.,注意:此式子并不是直接给出 和 之间的函数关系,而只是给出了未知函数的导数与未知函数之间的关系式.如何由此式子求得 与 之间的关系式, 以后再介绍.,返回,例4. R-L-C电路模型,如图所示的R-L-C电路. 它包含电感L,电阻R,电容C及电源e(t). 设L,R,C均为常数,e(t)是时间t的已知函数.试求当开关K合上后,电路中电流强度I与时间t之间的关系.,解: 电路的Kirchhoff第二定律: 在闭合回路中,所有支路上的电压的代数和为零.,设当开关K合上后, 电
9、路中在时刻t的电流强度为I(t), 则电流 经过电感L, 电阻R和电容的电压降分别为 其中Q为电量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,因为 于是得到,这就是电流强度I与时间t所满足的数学关系式.,返回,例5. 数学摆模型,数学摆是系于一根长度为 的线上而质量为 的质点M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圆周运动.如图所示.试确定摆的运动方程.,解: Newton第二定律:,取反时针运动方向为计量摆与铅垂线所成的角 的正方向. 则由Newton第二定律, 得到摆的运动方程为,附注1: 如果研究摆的微小振动,即当 比较小时, 可以取 的近似值 代入上式,这样就得到微小振动时摆的运动
10、方程:,为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。 本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。一般生态系统的分析可以通过一些简单模型的复合来研究，大家若有兴趣可以根据生态系统的特征自行建立相应的模型。,美丽的大自然,种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差将是十分微小的。,离散化为连续，方便研究,Malthus模型与Logistic模型,例. 马尔萨斯（Malthus）模型,马尔萨斯在分析人口出生与死亡情况的资料后发现，人口净增长率r基
11、本上是一常数，（r=b-d,b为出生率，d为死亡率），即：,（3.6）,（3.1）的解为：,其中N0=N(t0)为初始时刻t0时的种群数。,马尔萨斯模型的一个显著特点：种群数量翻一番所需的时间是固定的。,令种群数量翻一番所需的时间为T，则有：,故,Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。,所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。,返回,例. Logistic模型,人口净增长率应当与人口数量有关，即： r=r(N),r(N)是未知函数
12、，但根据实际背景，它无法用拟合方法来求 。,为了得出一个有实际意义的模型，我们不妨采用一下工程师原则。工程师们在建立实际问题的数学模型时，总是采用尽可能简单的方法。,r(N)最简单的形式是常数，此时得到的就是马尔萨斯模型。对马尔萨斯模型的最简单的改进就是引进一次项（竞争项）,(3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两
13、者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。,图3-5,对（3.9）分离变量：,两边积分并整理得：,令N(0)=N0，求得：,N(t)的图形请看图3.5,大量实验资料表明用Logistic模型来描述种群的增长，效果还是相当不错的。例如，高斯把5只草履虫放进一个盛有0.5cm3营养液的小试管，他发现，开始时草履虫以每天230.9%的速率增长，此后增长速度不断减慢，到第五天达到最大量375个，实验数据与r=2.309，a=0.006157，N(0)=5的Logistic曲线： 几乎完全吻合，见图3.6。,图3-6,Malthus模型和Logis
14、tic模型的总结：,Malthus模型和Logistic模型均为对微分方程（3.7）所作的模拟近似方程。前一模型假设了种群增长率r为一常数，（r被称为该种群的内禀增长率）。后一模型则假设环境只能供养一定数量的种群，从而引入了一个竞争项。,用模拟近似法建立微分方程来研究实际问题时必须对求得的解进行检验，看其是否与实际情况相符或基本相符。相符性越好则模拟得越好，否则就得找出不相符的主要原因，对模型进行修改。,Malthus模型与Logistic模型虽然都是为了研究种群数量的增长情况而建立的，但它们也可用来研究其他实际问题，只要这些实际问题的数学模型有相同的微分方程即可，下面我们来看两个较为有趣的实例。,返回,
