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1、第三节,由导数公式,积分得:,分部积分公式,或,1) v 容易求得 ;,容易计算 .,分部积分法,第四章,例1. 求,解: 令,则, 原式,思考: 如何求,提示: 令,则,原式,例2. 求,解: 令,则,原式 =,例4. 求,解: 令, 则, 原式,再令, 则,故 原式 =,说明: 也可设,为三角函数 , 但两次所设类型,必须一致 .,解题技巧:,把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三” 的,顺序,前者为 后者为,例5. 求,解: 令, 则,原式 =,反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数,例6. 求,解: 令, 则,原式 =,例7. 求,解:
2、 令,则,原式,令,例8. 求,解: 令,则, 原式 =,例9. 求,解: 令,则,得递推公式,说明:,递推公式,已知,利用递推公式可求得,例如,例10. 证明递推公式,证:,注:,或,说明:,分部积分题目的类型:,1) 直接分部化简积分 ;,2) 分部产生循环式 , 由此解出积分式 ;,(注意: 两次分部选择的 u , v 函数类型不变 , 解出积分后加 C ),3) 对含自然数 n 的积分, 通过分部积分建立递 推公式 .,例11. 已知,的一个原函数是,求,解:,说明: 此题若先求出,再求积分反而复杂.,例12. 求,解法1 先换元后分部,令,即,则,故,解法2 用分部积分法,内容小结,分部积分公式,1. 使用原则 :,2. 使用经验 :,“反对幂指三” , 前 u 后,3. 题目类型 :,分部化简 ;,循环解出;,递推公式,4. 计算格式 :,例13. 求,解:,令,则,可用表格法求 多次分部积分,例14. 求,解: 令,则,原式,原式 =,思考与练习,1. 下述运算错在哪里? 应如何改正?,得 0 = 1,答: 不定积分是原函数族 , 相减不应为 0 .,求此积分的正确作法是用换元法 .,2. 求,提示:,备用题.,求不定积分,解：,方法1,(先分部 , 再换元),令,则,方法2,(先换元,再分部),令,则,故,
