第5章 系统仿真算法分析培训课件

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1、1,本章主要教学内容 数值积分法的基本原理及其主要内容 快速仿真算法的基本原理及其主要内容 离散相似法的基本原理及其仿真应用 线性系统的仿真方法 非线性系统的仿真方法 采样控制系统的仿真方法,第5章,系统仿真算法分析,2,本章教学目的及要求 掌握数值积分法和快速仿真算法的原理及应用 掌握离散相似法的原理应用 熟悉线性系统、非线性系统、采样系统的仿真处理过程,第5章,系统仿真算法分析,3,5.1 数值积分法 系统仿真中最常用、最基本的求解常微分方程数值解的方法主要是数值积分法。 设系统常微分方程为： （5-1） 为包含有时间t和函数y的表达式，y0为函数y在初始时刻t0时的对应初值。我们将求解方

2、程（5-1）中函数 的问题称为常微分方程数值求解问题。,第5章,系统仿真算法分析,5,第5章,系统仿真算法分析,6,当h很小时，可以认为造成的误差是允许的。所以有：,第5章,称之为欧拉公式。,系统仿真算法分析,7,2 . 欧拉法具备以下特点： （1）欧拉法实际上是采用折线代替了实际曲线，也称之为折线法。 （2）欧拉法计算简单，容易实现。由前一点值仅一步递推就可以求出后一点值，所以称为单步法。 （3）欧拉法计算只要给定初始值，即可开始进行递推运算，不需要其它信息，因此它属于自启动模式。 （4）欧拉法是一种近似的处理，存在计算误差，所以系统的计算精度较低。,第5章,系统仿真算法分析,8,5.1.2

3、 梯形法 1梯形公式 为了弥补欧拉法计算精度较低的不足，可以采用梯形面积公式来代替曲线下的定积分计算，如图5-2所示。 依然对式（5-1）进行求解，采用梯形法作相应近似处理之后，其输出为：,第5章,称为梯形积分公式 。,系统仿真算法分析,9,第5章,系统仿真算法分析,10,从中可以看到，在计算 时，其右端函数中也含有 ，这种公式称为隐式公式，不能靠自身解决，需要采用迭代方法来启动，称之为多步法。可以先采用欧拉公式进行预报，再利用梯形公式进行校正。即梯形法的预报校正公式 ：,第5章,系统仿真算法分析,11,2. 梯形法具备以下特点： （1）采用梯形代替欧拉法的矩形来计算积分面积，其计算精度要高于

4、欧拉法。 （2）采用预报校正公式，每求一个 ，计算量要比欧拉法多一倍。因此计算速度较慢。 （3）梯形公式中的右端函数含有未知数，不能直接计算左端的变量值，这是一种隐式处理，要利用迭代法求解。即梯形法不能自启动，要靠多步法来实现计算。,第5章,系统仿真算法分析,12,5.1.3 龙格库塔（RungeKutta）法 1龙格库塔公式 二阶龙格库塔公式 ：,第5章,系统仿真算法分析,13,第5章,四阶龙格库塔公式 ：,系统仿真算法分析,14,2. 龙格库塔法特点： （1）为单步法，并且可自启动。 （2）改变仿真步长比较方便，可根据精度要求而定。 （3）仿真计算量与仿真步长h的大小密切相关，h值越小计算

5、精度越高，但所需仿真时间也就越长。 （4）用泰勒级数展开龙格库塔法计算公式时，只取h的一次项，即为欧拉法计算公式；若取到h2项，则为二阶龙格库塔法计算公式；若取到h4项，则为四阶龙格库塔法计算公式。,第5章,系统仿真算法分析,15,第5章,5.1.4 数值积分公式的应用 【例5.1】 已知一阶系统的微分方程为： ，初始条件 ，取仿真步长h=0.1，分别用欧拉法、梯形法和龙格库塔法计算该系统仿真第一步的值。,解：原方程可变为:,即,系统仿真算法分析,16,（1）用欧拉法计算 根据欧拉公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得该系统仿真第一步的值：,第5章,系统仿真算法分析,17,第5章,（2）用梯

6、形法计算： 根据预报校正公式，将函数表达式及其初始值代入后，可得仿真第一步的值。 用预报公式求起始值：,系统仿真算法分析,18,再用校正公式得到系统仿真第一步的值：,第5章,系统仿真算法分析,19,（3）用二阶龙格库塔法计算 根据公式先计算出两个系数，再计算仿真第一步的值：,第5章,系统仿真算法分析,20,则系统仿真第一步的值为：,第5章,系统仿真算法分析,21,（4）用四阶龙格库塔公式计算 根据公式先计算出4个系数，再计算仿真第一步的值：,第5章,系统仿真算法分析,22,第5章,系统仿真算法分析,23,则系统仿真第一步的值为：,第5章,系统仿真算法分析,24,从上述结果可以看出: 对于同一个

7、系统进行仿真计算时，其值的精度是随着数值积分公式的变化而改变的，其中欧拉法计算精度最低，其次为梯形法和二阶龙格库塔法，四阶龙格库塔法计算精度最高。,第5章,系统仿真算法分析,25,5.1.5 仿真精度与系统稳定性 1. 仿真过程的误差 （1）初始误差:现场采集数据不一定很准，会造成仿真过程中产生误差，称为初始误差。应对现场数据进行准确的检测，也可多次采集，以其平均值作为参考初始数据。 （2）舍入误差:由于不同档次的计算机其计算结果的有效值不一致，导致仿真过程出现舍入误差。 应选择挡次高的计算机，其字长越长，仿真数值结果尾数的舍入误差就越小。 （3）截断误差:仿真步距确定后，数值积分公式的阶次将

8、导致系统仿真时产生截断误差，阶次越高，截断误差越小。仿真时多采用四阶龙格库塔法，其截断误差较小。,第5章,系统仿真算法分析,26,系统仿真算法分析,第5章,2. 仿真过程的稳定性 计算结果对系统仿真的计算误差反应不敏感，称之为算法稳定，否则称算法不稳定。对于不稳定的算法，误差会不断积累，最终可能导致仿真计算达不到系统要求而失败。 （1）系统的稳定性与仿真步长的关系 一个数值解是否稳定，取决于该系统微分方程的特征根是否满足稳定性要求，而不同的数值积分公式具有不同的稳定区域，在仿真时要保证稳定就要合理选择仿真步长，使微分方程的解处于稳定区域之中。,27,系统仿真算法分析,第5章,（2）积分步长的选

9、择 由于积分步长直接与系统的仿真精度和稳定性密切相关，所以应合理地选择积分步长h的值。 通常遵循两个原则： 使仿真系统的算法稳定。 使仿真系统具备一定的计算精度。 一般掌握的原则是：在保证计算稳定性及计算精度的要求下，尽可能选较大的仿真步长。,28,由于工程系统的仿真处理采用四阶龙格库塔法居多，所以选择仿真积分步长可参考以下公式： 时域内： ；其中ts 为系统过渡过程调节时间 频域内： ；其中 为系统的开环截止频率,第5章,系统仿真算法分析,29,第5章,系统仿真算法分析,5.2 快速仿真算法 5.2.1 时域矩阵法 时域矩阵法是一种在时域内采用无穷矩阵进行系统仿真的算法，它每一步的计算量较小

10、，而且与系统阶次无关，适合于系统的快速仿真。 时域矩阵的概念 式中：Y 给定系统采样时刻的输出矩阵 G 时域矩阵 U 采样时刻的输入变量离散序列,30,第5章,系统仿真算法分析,2. 时域矩阵的求取 根据系统的传递函数 ，经过拉氏变换求出 ，再求出特定采样时刻的 ，即可组成时域矩阵G。 3. 求解闭环系统的动态响应 时域矩阵法求解闭环系统动态响应的基本思想是： 在特定输入信号作用下，即R是已知的；而系统在前一时刻的采样值，即初始条件是已知的，这样即可求出ERC。在求出误差时间序列矩阵E以后，由系统给定的传递函数求其脉冲过程函数,再求出系统的时域矩阵G，最后利用C= GE求出系统的最终输出响应。

11、,31,第5章,系统仿真算法分析,4. 时域矩阵法的特点 （1）多用于采样控制系统，由于采用脉冲过程函数来计算系统的闭环响应，不会因系统阶次的增加而加大计算工作量，从而提高了仿真速度；但有时求解高阶系统的脉冲过渡函数会有一定的难度。 （2）由于每个采样时刻的 是准确计算出来的，所以采用时域矩阵法仿真时系统的采样周期（或仿真步距）可以选得大些。 （3）时域矩阵法可推广到非线性系统的快速仿真。,32,第5章,系统仿真算法分析,5.2.2 增广矩阵法 增广矩阵法是将系统的控制量增广到状态变量中，使原来的非齐次常微分方程变为一个齐次方程。 基本思想: 已知连续系统的状态方程为： 其解为：,33,第5章

12、,系统仿真算法分析,这是自由项强制项两个部分的组合。若把控制量u(t)增广到状态量中去，就可以变成齐次方程，然后再利用 求出其解为:,由于系数矩阵是可求出的，这就使仿真计算变成每次只作一个十分简单的乘法运算，从而提高了系统的仿真速度。,34,第5章,系统仿真算法分析,5.2.3 替换法 1. 基本思想 对于高阶系统，如果能从它的传递函数直接推导出与之相匹配且允许较大采样周期T的脉冲传递函数，由此获得仿真模型，将会十分有利于提高仿真速度。相匹配的含义是指若 是稳定的，那么 也是稳定的，同时，输入相同外作用信号时，由 求出的响应和由 求出的响应具有相同的特征。 如果利用s与z的对应公式，将中的s替

13、换为z，求得的表达式，这种方法称为替换法。,35,第5章,系统仿真算法分析,2. 双线性替换公式（图士汀公式） 双线性替换公式（图士汀公式）是从梯形积分公式中推导出来的，按此公式进行替换，可以保证的稳定性，同时也具有较高的仿真速度。 已知梯形公式为：,图士汀公式 为:,36,第5章,系统仿真算法分析,5.2.4 根匹配法 1. 基本思想 连续系统的动态特性取决于描述该系统的传递函数中的开环增益及零点分布。当系统传递函数为：,为了实现系统快速仿真，应构造一个 ，它允许较大的采样周期T，且能保证 在零、极点分布上与 一致，动态响应也一致，这种方法称为根匹配法。,（5-11）,37,第5章,系统仿真

14、算法分析,即：,2. 根匹配法的一般步骤 根匹配法应满足条件：具有相同数目的零极点；零极点相互匹配；终值应相等；具有相同的动态响应。 根匹配法处理的一般步骤： （1）给定系统传递函数，转换为式（5-11）的形式。 （2）求出传递函数的零、极点。 （3）利用映射关系映射到Z平面上。 （4）按零、极点匹配的原则构造。 （5）用终值定理相等的原则确定Kz。 （6）附加零点的处理，即有nm个零点位于Z平面的原点。,38,5.3 离散相似法 利用数字计算机对一个连续系统进行仿真时，得到的仿真结果实际上是各状态变量在计算步距点上的数值，也就是时间离散点上的数值，这等效于将一个连续系统看作是时间离散系统，为

15、此，我们引入离散相似法的有关概念。,第5章,系统仿真算法分析,39,5.3.1 仿真算法描述 所谓离散相似法，就是将一个连续系统进行离散化处理，从而得到与之等价的系统离散模型，通常，此种方法是按系统的动态结构图来建立仿真模型。在计算过程中，可以按各典型环节离散相似模型的输入来计算环节的输出。,第5章,系统仿真算法分析,40,1. 典型环节的离散化模型,第5章,图5-5 连续系统模型的离散化,系统仿真算法分析,41,第5章,使用零阶保持器，可得到离散化状态方程的解：,若使用三角保持器，离散化状态方程解的形式为：,系统仿真算法分析,42,环节的离散系数为:,第5章,已知系统A、B系数矩阵后，可求出各环节的离散系数,，带入相应差分方程，再根据状态变量的初值，,就可以求出不同采样时刻的各状态变量数值。,系统仿真算法分析,43,5.3.2 典型环节的离散模型 1. 积分环节 积分环节的传递函数为：,第5章,环节离散系数为：,系统仿真算法分析,44,第5章,离散方程为：,系统仿真算法分析,45,2. 比例积分环节 比例积分环节的传递函数为：,第5章,环节离散系数为:,系统仿真算法分析,46,第5章,离散方程为：,系统仿真算法分析,47,第5章,3. 惯性环节 惯性环节的传递函数为：,环节离散系数为：,系统仿真算法分析,48,第5章,离散方程为：,系统仿真算法分析,49,第