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1、,第3专题 数 列,回归课本与创新设计,高考命题趋势,重点知识回顾,主要题型剖析,专题训练,试题备选,一、等差、等比数列的概念、判定、公式与性质,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,二、求数列通项公式的方法,1.利用观察法求数列的通项;,2.利用等差、等比数列的通项公式;,3.由an与Sn的关系求通项公式an=,4.应用叠加(叠乘、叠代)法求数列的通项:an+1=an+f(n);a
2、n+1=an f(n);,5.构造等差、等比数列求通项:,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,三、数列求和的常用方法,1.公式法:利用等差、等比数列的求和公式;,2.错位相减法: 数列的通项公式cn=anbn,且、中一个是等 差数列,一个是等比数列;,3.分组求和法:数列的通项公式cn=an+bn;,4.裂项相消法:形如an=,an=(是等差数列)的数列.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,从近几年新课标高考来看,数列作为高中数学传统内容,基本上是考查一个小题一个大题,小题主要考查等差、等比数列的
3、基本公式、基本性质,属于中低档难度性的试题;大题大多考查数列与不等式、函数、方程、解析几何的综合或数列的应用问题,多属中高档难度性的试题.,从高考趋势来看,2012年高考数列考查的重点和热点是等差、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式,综合应用仍是数列考题的常见形式,比较大小、证明不等式、求最值、求参数范围仍是考查的主要问题.数列考题的创新力度将加大,数列与新知识点的综合、新定义数列将占据重要的舞台.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,数列的性质与基本公式的应用主要是对等差数列和等比数列的基本量之间的关系和基本概念、基本公式、基本性质、
4、基本思想的考查.这类试题常见于选择题、填空题,以容易题、中档题为主,一般采用基本量法求解,但有时利用数列项的性质或和的性质更简单,常利用方程思想、函数思想、整体思想来求解.高考中这类问题,一般要多想少算,多思考利用性质.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)已知an为等差数列,若-1,且它的前n项和Sn有最大值,那么当Sn取 得最小正值时,n等于(),(A)11.(B)20.(C)19.(D)21.,【分析】(1)本题可以采用“基本量”法,设出等差数列的首项和公差,根据a9=5,S7=21联立方程,然后代入等差数列的前n项和公式.也可以利用
5、等差数列的性质将S12转化为a9+a4,然后利用S7=21求出a4.显然利用等差数列的性质更简单.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)已知条件中是项的关系,要求和的最小正值,因此应该利用求和公式向项转化,通过项的正负,判断和的正负,得出Sn取得最小正值时的n值.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】(1)B(2)C,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(1)在等差数列与等比数列中,已知五个元素a1、an、n、d (或q)、Sn中的任意三
6、个,运用方程思想可求出其余两个.在解决有关计算问题时,需要抓住首项a1和公差d(或公比q).(2)求数列和的最值可以从项或者和进行考虑,有时可以利用函数的单调性.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)等差数列前9项的和等于前4项的和.若a1=1,ak+a4=0,则k= .,【解析】(1)本题考查等差数列的运算性质.在等差数列中S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9成等差数列,由题意可设S3=1,S6=3,则S6-S3=2,S9-S6=3,S12-S9=4,S12=S3+(S6-S3)+(S9-S6)+(S12-S9)=10,=.,重点知
7、识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【答案】(1)A(2)10,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,数列的通项与求和问题是高考中的热点,此类问题一般有两个方向:(1)考查等差、等比数列(或者是可转化为等差、等比数列的数列)的通项公式和前n项和公式;(2)考查和与项之间的转化关系,其中将涉及分类讨论、方程、函数等数学思想.,例2(1)已知单调函数y=f(x)的定义域为R,当x1,且对任意的实数x,yR,等式f(x)f(y)=f(x+y)成立.若数列an中,a1=f(0),f(an+1)= (nN+),则a2
8、012的值为(),(A)4020.(B)4021.(C)4022.(D)4023.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)若数列an是正项数列,且+=n2+3n(nN*),则+ =.,【分析】(1)通过抽象函数寻找数列的递推公式,进而转化为等差数列是解题的关键.本题启示我们,数列问题的解题规律是发现递推关系,转化为通项公式,进而研究其性质或者求和.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)将“+”视为数列的前n项和,利用an=Sn-Sn-1求出 的通项公式,得出的通项,进而求数列的前n项和.,
9、【答案】(1)D(2)2n2+6n,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,数列的通项an与数列的前n项Sn是数列中两个重要的量,要 注意各自的意义和相互间的转化.已知Sn求an,应重视分类讨论的应用,应分n=1和n2两种情况讨论,当n=1时,a1也适合“an”式,则数列的通项公式需统一“合写”,否则要分段表示.,同类拓展2(1)(2011年四川)数列an的前n项和为Sn,若a1=1,an+1 =3Sn(n1),则a6等于(),(A)3 44.(B)3 44+1.,(C)44.(D)44+1.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归
10、课本与创 新设计,试题备选,(2)设a1=2,an+1=,bn=|,nN+,则数列bn的通项公式bn= .,【解析】(1)由an+1 =3Sn,得an =3Sn-1(n2),相减得an+1-an=3(Sn-Sn-1)=3an,则an+1=4an(n2),a1=1,a2=3,则a6=a244=344.,【答案】(1)A(2)2n+1,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,等差、等比数列是两类最基本的数列,对其考查以通项公式、前n项的和为重点,高考中多以客观题出现,一般与其他知识综合考查两类数列,要注意抽象出两类数列模型,利用基本量法,通过公式构造方程
11、,确定数列通项求解.,例3设函数f(x)=3x2+1,g(x)=2x,数列an满足条件:对于nN*,an0,且f(an+1)-f(an)=g(an+1+),又设数列bn满足条件:bn=loa(a0且a1,nN*).,(1)求证:数列an为等比数列;,(2)求证:数列为等差数列;,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(3)设k,lN*,且k+l=5,bk=,bl=,求数列bn的通项公式.,【分析】(1)要证明数列an为等比数列,依据定义需得到两相邻项的比是一个常数.而已知条件f(an+1)-f(an)=g(an+1+),其实质上给出了an与an+1
12、之 间的关系,依据等比数列的定义可证明数列an为等比数列.,(2)对数的运算关键是同底数,故由所求与对数的倒数法则可得= logaan,而后再由对数的运算法则可得-=loga=loga3,则数列 是等差数列.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回
13、归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展3已知数列an的前n项和为Sn,a1=1,数列an+Sn是公差为2的等差数列.,(1)求a2,a3;,(2)证明:数列an-2为等比数列;,(3)求数列nan的前n项和Tn.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,An=-n()n,An=4-(n+2)()n-1,Tn=+(n+2)()n-1-4=(n+2)()n-1+n(n+1)-4.,数学应用
14、问题是数列高考的重要考点之一,解答这类问题的关键是深刻理解题意,学会文字语言向数学的符号语言的翻译转化,建立恰当的数学模型,而构造数列的递推关系是解决这类问题的关,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,例42010年,中国浙江吉利控股集团有限公司以18亿美元收购沃尔沃汽车公司,并计划投资20亿美元来发展该品牌.据专家预测,从2010年起,沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2010年的销售量为20000辆),销售利润按照每年每辆比上一年减少10%(2010年销售利润为2万美元/辆)计算.求,(1)第n年的销售利润为多少?,(2)到201
15、4年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司能否通过沃尔沃汽车实现盈利?(即销售利润超过总投资,0.950.59).,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,【分析】本题以实际问题为背景,考查了等差、等比数列通项公式及其前n项和.(1)通过产量与利润的增长规律,构造数列,表示其第n年的销售利润.(2)利用错位相减法,求出前n年的销售利润,比较投入与利润,确定能否盈利.,第n年的销售利润记为,cn=anbn=(10000+10000n)20.9n-1.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,(2)记到2014年年
16、底,中国浙江吉利控股集团有限公司利润总和为S万美元,则,S=200002+3000020.9+4000020.92+5000020.93+6000020.94,0.9S=2000020.9+3000020.92+4000020.93+5000020.94+6000020.95,-得,0.1S=200002+20000(0.9+0.92+0.93+0.94)-6000020.95,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,S=10(220000-3200000.95)31.2104(20+18)104.,答:第n年的销售利润为(10000+10000n)20.9n-1万美元,到2014年年底,中国浙江吉利控股集团有限公司不能实现盈利.,解决数列实际应用问题的关键是要做好三件事情:第 一是努力读懂题意,能用自己的语言把问题表述出来;第二是找出关键字句,其他的文字可以不管;第三是将实际生活化的语言翻译成数学语言.,重点知识回顾,主要题型剖析,高考命题趋势,专题训练,回归课本与创 新设计,试题备选,同类拓展
