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1、,二阶微分方程的,习题课 (二),二、微分方程的应用,解法及应用,一、两类二阶微分方程的解法,第七章,一、两类二阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数情形,齐次,非齐次,代数法,欧拉方程,思考: 设,提示: 对积分换元 ,则有,解初值问题:,答案:,的解.,例2.,设函数,内具有连续二阶导,(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,(2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解:,上式两端对 x 求导, 得:,(1) 由反函数的导数公式知,(2003考研),代入原微分方
2、程得,(2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1 . 建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程 ( 共性 ),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件 ( 个性 ),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2 . 解微分方程问题,3 . 分析解所包含的实际意义,例3.,解:,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球,引力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M ,卫星,的质心到地心的距离为 h ,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题
3、:,又设卫星的初速度,代入原方程, 得,两边积分得,利用初始条件, 得,因此,注意到,为使,因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,求质点的运动规律,例4.,上的力 F 所作的功与经过的时间 t 成正比 ( 比例系数,提示:,两边对 s 求导得:,牛顿第二定律,为 k),开方如何定 + ?,已知一质量为 m 的质点作直线运动, 作用在质点,备用题,有特,而对应齐次方程有解,微分方程的通解 .,解:,故所给二阶非齐次方程为,方程化为,1. 设二阶非齐次方程,一阶线性非齐次方程,故,再积分得通解,复习: 一阶线性微分方程,通解公式:,2. 设函数,在 r 0内满足,拉普拉斯方程,二阶可导,试将方程化为以 r 为自变量的常微分,方程 , 并求 f (r) .,提示:,利用对称性,即,( 欧拉方程 ),原方程可化为,且,解初值问题:,则原方程化为,通解:,利用初始条件得特解:,
