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1、实验6 线性代数方程组的数值解法实验目的1. 1. 学会用MATLAB软件数值求解线性代数方程组，对迭代法的收敛性和解的稳定性作初步分析；2. 2. 通过实例学习用线性代数方程组解决简化的实际问题。实验内容5-5 输电网络：一种大型输电网络可简化为图5.5（见书）所示电路，其中R1，R2，Rn表示负载电阻，r1，r2，rn表示线路内阻，I1，I2，In表示负载上的电流。设电源电压为V。(1)列出求各负载电阻R1，R2，Rn的方程；(2)设I1=I2=In=I，r1=r2=rn=r，在r=1，I=0.5，V=18，n=10的情况下求R1，R2，Rn及总电阻R0。问题分析、模型建立及求解(1) 设
2、电源负极为电势为0，电阻R1上对应节点电压为V1，对于任意节点，根据KCL定律列出方程：而，可得： k=2，3，n-1；k=1时 ，为与上式形式一致，化为k=m（）时 k=n时 设以上方程组的矩阵形式为：则 (2)代入参数：，V=18，n=10，在命令窗口输入MATLAB程序如下：clear all;n=10; %由题目要求设定A11=sparse(1:n-1,1:n-1,-1,n,n); %定义A的对角元素，除（n,n)A12=sparse(n,n,-0.5,n,n); %定义(n,n)A1=A11+A12; %对角元素A2=sparse(1:n-1,2:n,0.5,n,n); %输入A的上
3、次对角元素A3=sparse(2:n,1:n-1,0.5,n,n); %输入A的下次对角元素A=A1+A2+A3;b1=0.5*ones(n,1); %b的除第一项元素b2=sparse(1,1,18,n,1); %b的第一项元素b=b1-b2; R=Ab输出结果如下：R = 26.0000 17.0000 9.0000 2.0000 -4.0000 -9.0000 -13.0000 -16.0000 -18.0000 -19.0000所以各阻值为(R1，R2，R10)=(26，17，9，2，-4，-9，-13，-16，-18，-19)总电阻R0（即输入等效电阻）为，又得到 5-6有5个反应器
4、连接如图5.6（见书），各个Q表示外部输入、输出及反应器间的流量（m3/min），各个c表示外部输入及反应器内某物质的浓度(mg/m3)。假定反应器内的浓度是均匀的，利用质量守恒准则建立模型，求出各反应器内的浓度c1c5，并讨论反应器j外部输入改变个单位(mg/min)所引起的反应器i浓度的变化。问题分析、模型建立及求解当反应容器中反应物浓度稳定时，输入物质质量与输出物质质量平衡，即输入物质质量等于输出物质质量。由此分析，分别对15容器列质量平衡方程，以输入物质为“+”，输出物质为“”，代入数据整理为由矩阵表示：，编写MATLAB程序如下：A=-6,0,1,0,0 3,-3,0,0,0 0,1
5、,-9,0,0 0,1,8,-11,2 3,1,0,0,-4;b=-50,0,-160,0,0;c=Ab %计算并输出cpause;dQc01=1,0,0,0,0;dQc02=0,0,1,0,0; c11=A(b+dQc01); %01的输入减少1个单位dc11=c-c2;c12=A(b-dQc01); %01的输入增加1个单位dc12=c-c1;c21=A(b+dQc02); %03的输入减少1个单位dc21=c-c4;c22=A(b-dQc02) ; %03的输入增加1个单位dc22=c-c3;c,c11,dc11,c12,dc12,c21,dc21,c22,dc22%外部输入改变引起的
6、%反应器浓度变化列表比较MATLAB给出结果如下：c = 11.5094 11.5094 19.0566 16.9983 11.5094所以改变前各反应器浓度为(c1，c2，c3，c4，c5)=( 11.5094，11.5094，19.0566，16.9983，11.5094)改变容器01或容器03的外部输入，得到各容器平衡时浓度及其增量如下表：浓度原值C001 减少1单位001增加1单位003 减少1单位003增加1单位C11C12C21 C22C111.509411.33960.169811.6792-0.169811.49060.018911.5283-0.0189C211.509411
7、.33960.169811.6792-0.169811.49060.018911.5283-0.0189C319.056619.03770.018919.0755-0.018918.94340.113219.1698-0.1132C416.998316.93830.060017.0583-0.060016.91080.087517.0858-0.0875C511.509411.33960.169811.6792-0.169811.49060.018911.5283-0.0189改进做法上面这种做法显得有些麻烦，由可得，表明容器平衡浓度c对外部输入b是线性的，所以当b增加1个单位（记作）时，c的
8、增量为，若外部输入增加一个单位，时，为的第一列， 时，为的第三列。外部输入减少1个单位时，取其负值即可。故改用矩阵求逆的方法来计算：A=-6,0,1,0,0 3,-3,0,0,0 0,1,-9,0,0 0,1,8,-11,2 3,1,0,0,-4;b=-50,0,-160,0,0;dx=inv(A) %求A的逆矩阵输出结果为：dx = -0.1698 -0.0063 -0.0189 0 0 -0.1698 -0.3396 -0.0189 0 0 -0.0189 -0.0377 -0.1132 0 0 -0.0600 -0.0746 -0.0875 -0.0909 -0.0455 -0.1698
9、 -0.0896 -0.0189 0 -0.2500红色部分显示为所求，此结果与前面的方法计算的一致，但工作量明显少了许多。5-8 种群的繁殖与稳定收获：种群的数量因繁殖而增加，因自然死亡而减少，对于人工饲养的种群（比如家畜）而言，为了保证稳定的收获，各个年龄的种群数量应维持不变，种群因雌性个体的繁殖而改变，为方便起见以下种群数量均指其中的雌性。种群年龄记作k=1，2，n，当年年龄k的种群数量记作xk，繁殖率记作bk（每个雌性个体1年繁殖的数量），自然存活率记作sk（sk=1-dk，dk为1年的死亡率），收获量记作hk，则来年年龄k的种群数量应为，要求各个年龄的种群数量每年维持不变就是要使。(
10、1)若已知bk，sk，给定收获量hk，建立求个年龄的稳定种群数量xk的模型（用矩阵、向量表示）。(2)设n=5，b1=b2=b5=0，b3=5，b4=3，s1=s4=0.4，s2=s3=0.6，如果要求h1h5为500，400，200，200，100，求(3)要使h1h5均为500， 如何达到？问题分析、模型建立及求解(1)要使各年龄种群数量每年维持不变即，依题意得 用矩阵形式表示原方程组为：， (2)代入题中数据 ， 编写MATLAB程序如下：format bank;A=0.4,-1,0,0,0 0,0.6,-1,0,0 0,0,0.6,-1,0 0,0,0,0.4,-1 -1,0,5,3,
11、0;h=500,400,200,100,0; x=Ah MATLAB输出结果如下：x = 8481.01 2892.41 1335.44 601.27 140.51第5年龄段：x5=140.5100=h5 ，说明收获量h5可以达到100。(3)要使h1h5均为500，则h变为：其他参数不变，程序变为：format bank;A=0.4,-1,0,0,0 0,0.6,-1,0,0 0,0,0.6,-1,0 0,0,0,0.4,-1 -1,0,5,3,0;h=500,500,500,500,0;x=AhMATLAB输出结果如下：x = 10981.01 3892.41 1835.44 601.27
12、 -259.49从结果看出，x5为-259.49，但种群数量不可能为负数，在本题所给条件下，无法使h1h5均为500。为达到h1h5均为500，对题中参数b1，b2，b3，b4，b5， s1，s2，s3，s 4的值作了一些改动。经过分析比较发现，当s1，s2，s3，s 4值较大，而b1=b2=b5=0，b3，b4值较小时，可以达到。例如，设s1=s4=0.6，s2=s3=0.8，b1=b2=b5=0，b3=1，b4=2，输入：format bank;A=0.6,-1,0,0,0 0,0.8,-1,0,0 0,0,0.8,-1,0 0,0,0,0.6,-1 -1,0,1,2,0;h=500,500,500,500,0;x=Ah 结果为：x = 13467.74 7580.65 5564.52 3951.61 1870.97x5=1870500=h5，说明收获量h5可达到500，从而h1h5均可达到500。这里所设的参数只是满足条件的情况之一，但真正意义上来说参数的选取还得符合实际情况，如存活率不可能非常大，繁殖率也不可能只有1，所以要实现获得均为500是有一定困难的。 结果分析第3问要求h1h5均为500，但在本题所给参数下，结果出现负数，不符合实际。要维持种群的发展，就要有足够多的“年轻”种群数量；而要求各个年龄的种群数量每年维持
