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1、上海市松江区2010 年高三数学高考模拟考试（文）沪教版新课标 - 1 - / 10 上海市松江区2010 年高考模拟数学（文科）试卷 （完成时间120 分钟，满分150 分） 2010.4 一、填空题 ( 每小题 4 分, 满分 56 分) 1设集合 2 21,Ay yxxRBy yxxR，则AB 2方程)3lg(lgxx=1 的解是x 3设函数 2 1 (0) ( ) 2(0) xx f x xx ，那么 1(10) f 4一个与球心距离为1 的平面截球所得的圆的面积为，则球的表面积为 5已知直线:0laxbyc与圆1: 22 yxO相交于A、B两点，3| AB，则 OAOB= 6 若实数
2、yx,满足条件 ,0,0 ,022 ,04 yx yx yx 则yxz的最 大值为 7设袋中有黑球、白球共9 个，从中任取3 个球，若其 中含有白球的概率为 20 21 ，则袋中白球的个数为 8右图是计算 1111 1 2233 42009 2010 的程序框图，为了得到正确的结果，在判断 框中应该填入的条件是 9右图是一个几何体的三视图，根据图中数 据，可得该几何体的体积是 10 已知 9 ) 2 2 2( x 展开式的第7 项为 4 21 ， 则 23 lim() n n xxxx 11已知圆C过双曲线1 169 22 yx 的一个顶点和一个焦点，且圆心C在此双曲线上，则圆 上海市松江区2
3、010 年高三数学高考模拟考试（文）沪教版新课标 - 2 - / 10 心C到双曲线中心的距离是 12如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”介于 1 到 200 之间的所有“神秘数”之和为 13汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费 +年均维 修费）设某种汽车的购车的总费用为50000 元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计 为 6000 元；前x年的总维修费y满足 2 yaxbx，已知第一年的维修费用为1000 元，前二 年总维修费为3000 元则这种汽车的最佳使用年限为 14设函数( )F x和( )f x都在区间 D上
4、有定义，若对D的任意的子区间 , u v ，总有 , u v上 的p和q，使得不等式 ( )( ) ( )( ) F uF v f pf q uv 成立，则称( )F x是( )fx在区间D上的 甲函数，( )f x是( )F x在区间 D上的乙函数已知 2 ( )3 ,F xxx xR，那么( )F x的乙函 数( )fx 二、选择题 ( 每小题 4 分, 共 16 分) 15设,a bR，则“2ab且1ab”是“1a且1b”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件 16将函数 100 2cos1 1sin3 )(x x xf的图像向右平移)0(aa个单位，
5、所得图像的函数为 偶函数，则a的最小值为 A 6 5 B 3 2 C 3 D 6 17三棱锥P ABC的侧棱 PA 、 PB 、PC两两互相垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱 锥的体积是 A4 B6 C8 D 10 18 若 函 数)1, 0()1()(aaaakxf xx 在R上 既 是 奇 函 数 ， 又 是 减 函 数 ， 则 )(log)(kxxg a 的图像是 上海市松江区2010 年高三数学高考模拟考试（文）沪教版新课标 - 3 - / 10 三解答题（本大题满分78 分） 19 （本题满分14 分） 已 知 1 z、 2 z为 复 数 ，ia a z)10( 5 32 1 、
6、 2 2 (25) () 1 zai aR a ， 若 12 zz是实数，求 2 z的值 20 （本题满分14 分，其中第（1）小题 8 分，第（ 2）小题 6 分） 如图所示，在一条海防警戒线上的点 A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到 点A的距离分别为20千米和50千米某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米 / 秒 （1）设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求x的值； （2）求P到海防警戒线AC的距离（结果精确到0.01千米） 21 （本题 16 分，其中第（ 1）小题 8 分，第（ 2）
7、小题 8分） 已知椭圆E的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，长轴是短轴的2 倍，且椭圆E过点 2 ( 2,) 2 ；斜率为(0)k k的直线 l过点(0,2)A ，n为直线 l的一个法向量，坐标平面上的 上海市松江区2010 年高三数学高考模拟考试（文）沪教版新课标 - 4 - / 10 点B满足条件n ABn （1）写出椭圆E方程，并求点B到直线l的距离； （2）若椭圆E上恰好存在3 个这样的点B，求k的值 22 （本题满分16 分，其中第（1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分） 在数列 n a中， 已知 12 1,2aa， 且数列 n a的奇数项
8、依次组成公差为1 的等差数列， 偶数项依次组成公比为2 的等比数列，数列 n b满足 21 2 n n n a b a ，记数列 n b的前n项和为 n S， （1）写出数列 n a的通项公式； （2）求 n S； （3）证明：当6n时， 1 2 n S n 23 （本题满分18 分，第（ 1）题 5 分，第（ 2）题 8 分，第（ 3）题 5 分） 设函数( )f x的定义域为D，值域为B，如果存在函数( )xg t，使得函数( ( )yf g t的值 域仍然是 B，那么，称函数( )xg t 是函数( )f x的一个等值域变换 （1）判断下列( )xg t是不是( )f x的一个等值域变换
9、？说明你的理由： ()A( )2,fxxb xR， 2 23,xtttR； ()B 2 ( )1,fxxxxR，( )2 , t xg ttR； （2） 设 2 ( )logf xx)(Rx， 2 ( )21g tatt， 若( )xg t是( )f x的一个等值域变换， 求实数a的取值范围，并指出( )xg t的一个定义域； （ 3）设函数( )f x的定义域为 D，值域为B，函数( )g t 的定义域为 1 D，值域为 1 B，写出 ( )xg t是( )f x的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必 要性 上海市松江区2010 年高三数学高考模拟考试（文）沪教版
10、新课标 - 5 - / 10 松江区 2010 年高考模拟数学（文科）试卷参考答案 （完成时间120 分钟，满分150 分） 2010.4 一、填空题 1 B 或0,(2 2 3 3 4 8 5 2 1 6 4 7 5 82008i （答案不唯一） 9 3 13 10 1 4 11 3 16 12 2500 13 10 1432x 二、选择题 15B 16 D 17A 18 A 三解答题（本大题满分78 分） 19 （本题满分14 分） 已知 1 z、 2 z为复数，ia a z)10( 5 3 2 1 、 2 2 (25) () 1 zaiaR a ， 若 12 zz是实数，求 2 z的值
11、解：由 2 1 3 (10) , 5 zai a 2分 2 12 32 (10)(25) 51 zzaai aa 5 分 ,3, 5,0152 2 aaaa或解得 10 分 又分母不为零， 3a 12 分 2z1 i 2 z2 14 分 20 （本题满分14 分，其中第（1）小题 8 分，第（ 2）小题 6 分） 如图所示，在一条海防警戒线上的点 A、B、C处各有一个水声监测点，B、C两点到 点A的距离分别为20千米和50千米某时刻，B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 秒后A、C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米 / 秒 上海市松江区2010 年高三数学高考模拟考试
12、（文）沪教版新课标 - 6 - / 10 （1） 设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距 离，并求x的值； （2） 求P到海防警戒线 AC的距离（结果精确到0.01 千 米） 解： （1）依题意，有xPCPA， 1285. 1xxPB. 2 分 在 PAB中， AB=20 ABPA PBABPA PAB 2 cos 222 x x x xx 5 323 202 )12(20 222 4 分 同理，在 PAB中， AC=50 ACPA PCACPA PAC 2 cos 222 xx xx25 502 50 222 6 分 ,coscosPACPAB xx x25 5 323 解之，得31
13、x 8 分 (2) 作 PDD，AC于在 ADP中， 由 31 25 cosPAD得 31 214 cos1sin 2 PADPAD 12 分 33.18214 31 214 31sinAPDPAPD千米 答：静止目标P到海防警戒线AC的距离为33.18千米。14 分 21 （本题 16 分，其中第（ 1）小题 8 分，第（ 2）小题 8分） 在平面直角坐标系中，已知椭圆 E的方程为 22 22 1(0) xy ab ab ， 长轴是短轴的2 倍， 且椭圆 E过点 2 ( 2,) 2 ，斜率为(0)k k的直线 l过点(0,2)A ，n为直线 l的一个法向量， 点B满足条件n ABn （1）写
14、出椭圆E方程，并求点B到直线l的距离； （2）若椭圆E上恰好存在3 个这样的点B，求k的值 上海市松江区2010 年高三数学高考模拟考试（文）沪教版新课标 - 7 - / 10 解： （ 1）由题意得 1 2 1 2 2 22 ba ba 解得1,4 22 ba 3 分 椭圆E方程为：1 4 2 2 y x 4 分 直线l的方程为2kxy，其一个法向量)1,(kn，设点B 的坐标为),( 00 yxB，由 )2,( 00 yxAB及n ABn得 2 00 12kykx 6 分 ),( 00 yxB到直线2kxy的距离为1 1 2 2 00 k ykx d 8 分 （2）由（ 1）知，点B是椭圆
15、E上到直线l的距离为1 的点，即B是与直线l的距离为1 的二 条平行线与椭圆E恰好有三个交点。 设与直线l平行的直线方程为tkxy 由 1 4 2 2 y x tkxy 得4)(4 22 tkxx，即0448)41 ( 222 tktxxk )41 (16)44)(41(464 222222 tktktk10 分 当0时， 4 1 2 2t k 又由两平行线间的距离为1，可得 1 1 2 2 k t 把代入得 4 1 1)2( 2 2 t t，即013163 2 tt，0)1)(133(tt 解得 1t ，或 3 13 t 13 分 当1t时，代入得0k，与已知0k不符，不合题意；14 分 当
16、 3 13 t时，代入得 3 102 k，代回得 3 13 t或 3 1 t 当 3 102 k， 3 1 t时，由知0 此时两平行线 3 13 3 102 xy和 3 1 3 102 xy，与椭圆E有三个交点， 3 102 k 16 分 上海市松江区2010 年高三数学高考模拟考试（文）沪教版新课标 - 8 - / 10 22 （本题满分16 分，其中第（1）小题 4 分，第（ 2）小题 6 分，第（ 3）小题 6 分） 已知在数列 n a中 12 1,2aa，数列 n a的奇数项依次组成公差为1 的等差数列， 偶 数项依次组成公比为2 的等比数列，数列 n b满足 21 2 n n n a b a ，数列 n b的前n项和为 n S， （1）写出数列 n a的通项公式； （2）求 n S； （3）证明：当 6n 时， 1 2 n S n 解： （ 1） 2 1, 2 2 , n n n n a n 为奇数
