《2021年高考数学(复习必备)-立体几何题怎么解》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2021年高考数学(复习必备)-立体几何题怎么解（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、立体几何题怎么解 高考立体几何试题一般共有4 道(客观题 3 道, 主观题 1 道), 共计 总分 27 分左右 ,考查的知识点在20 个以内. 选择填空题考核立几中 的计算型问题 , 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题, 当然 , 二者均应以正确的空间想象为前提. 随着新的课程改革的进一步实 施,立体几何考题正朝着”多一点思考,少一点计算”的发展.从历年 的考题变化看 , 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证,角 与距离的探求是常考常新的热门话题. 例 1 四棱锥 PABCD 的底面是边长为a的正方形， PB面 ABCD. （1）若面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角为60，求
2、这个四棱锥 的体积； （2）证明无论四棱锥的高怎样变化， 面 PAD 与面 PCD 所成的二 面角恒大于 90 讲解:（1）正方形 ABCD 是四棱锥 PABCD 的底面 , 其面积 为, 2 a从而只要算出四棱锥的高就行了. PB面 ABCD, BA 是 PA 在面 ABCD 上的射影 .又 DAAB， PADA， PAB 是面 PAD 与面 ABCD 所成的二面角的平面角， PAB=60 . 而 PB 是四棱锥 PABCD 的高，PB=AB tg60 =3a, 32 3 3 3 3 1 aaaV锥. （2）不论棱锥的高怎样变化， 棱锥侧面 PAD 与 PCD 恒为全等三 角形. 作 AED
3、P，垂足为 E，连结 EC，则ADECDE， CEACEDCEAE故,90,是面 PAD 与面 PCD 所成的二面角的 平面角 . 设 AC 与 DB 相交于点 O，连结 EO，则 EOAC， . 2 2 aADAEOAa 在 .0 )2)(2( 2 )2( cos, 2 222 AE OAAEOAAE ECAE OAECAE AECAEC中 故平面 PAD 与平面 PCD 所成的二面角恒大于90 . 本小题主要考查线面关系和二面角的概念，以及空间想象能力和 逻辑推理能力 , 具有一定的探索性 , 是一道设计新颖 , 特征鲜明的好 题. 例 2如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1的底面 ABC
4、 为等腰直角三角 形， ACB=90 0，AC=1 ，C 点到 AB 1的距离为 CE= 2 3 ，D 为 AB C A1 E B1 C1 的中点 . （1）求证： AB1平面 CED； （2）求异面直线 AB1与 CD 之间的距离； （3）求二面角 B1ACB 的平面角 . 讲解 :（1） D 是 AB 中点， ABC 为等腰直角三角形， ABC=90 0，CDAB 又 AA 1平面 ABC，CDAA1. CD平面A1B1BA CDAB1，又 CEAB1， AB1平 面 CDE； （2）由 CD平面 A1B1BA CDDE AB1平面 CDE DEAB1 DE 是异面直线 AB1与 CD 的
5、公垂线段 CE= 2 3 ，AC=1 , CD=. 2 2 2 1 )()( 22 CDCEDE； （3）连结 B1C，易证 B1CAC，又 BCAC , B1CB 是二面角 B1ACB 的平面角 . 在 RtCEA 中，CE= 2 3 ，BC=AC=1, B1AC=60 0 2 60cos 1 2 1 AB，2)()( 22 11 ABABBB, 2 1 1 BC BB CBBtg, 2 1 arctgCBB. 作出公垂线段和二面角的平面角是正确解题的前提, 当然, 准确 地作出应当有严格的逻辑推理作为基石. 例 3如图al是 120 的二面角，A， B两点在棱上，AB=2 ， D在内，三角
6、形ABD是等腰直角三角形， DAB=90，C在内， ABC是等腰直角三角形ACB=.90 0 （I）求三棱锥DABC的体积； （2）求二面角DACB的大小； （3）求异面直线AB、CD所成的角 . 讲解:(1) 过 D 向平面做垂线，垂足为O，连强OA并延长至 E. DAEOAABDAOAADAB,上的射影在平面为为二面角al 的平面角 .60,120DAODAE3,2DOABAD. ABC是等腰直角三角形，斜边AB=2., 1 ABC S又D到平面的 距离DO=.3 . 3 3 ABCDV （2） 过O在内作OM AC,交AC的反向延长线于M,连结DM. 则ACDM.DMO 为二面角DACB
7、的平面角 . 又在 DOA中，OA=2cos60=1.且 . 2 2 ,45OMCAEOAM.6.6arctgDMODMOtg （3）在平在内，过C作AB的平行线交AE于F，DCF为异 面直线AB、CD所成的角. ACFCAFDFCFAFCFAFAB即又,45,为等腰直角三角形， 又AF等于C到AB的距离，即ABC斜边上的高 ,. 1CFAF .7.7.7120cos2 222 DCFtg CF DF DCFtgAFADAFADDF 异面直线AB,CD所成的角为arctg.7 比较例 2 与例 3 解法的异同 , 你会得出怎样的启示 ? 想想看. 例 4 在边长为a的正三角形的三个角处各剪去一
8、个四边形这 个四边形是由两个全等的直角三角形组成的，并且这三个四边形也全 等，如图若用剩下的部分折成一个无盖的正三棱柱形容器，如图 则当容器的高为多少时，可使这个容器的容积最大，并求出容积 的最大值 图图 讲解: 设容器的高为x则容器底面正三角形的边长为xa32, )32)(32(34 34 1 4 3 ) 32 0()32( 4 3 )( 2 xaxax a xxaxxV 54 ) 3 323234 ( 16 1 3 3axaxax . 当且仅当 . 54 , 18 3 ,3234 3 max a Vaxxax时即. 故当容器的高为 a 18 3 时，容器的容积最大，其最大容积为 . 54
9、3 a 对学过导数的同学来讲，三次函数的最值问题用导数求解是最方 便的，请读者不妨一试 . 另外，本题的深化似乎与2002 年全国高考 文科数学压轴题有关，还请做做对照. 类似的问题是 : 某企业设计一个容积为V 的密闭容器，下部是圆柱形，上部是半 球形，当圆柱的底面半径r 和圆柱的高 h 为何值时，制造这个密闭容 器的用料最省（即容器的表面积最小）. 例 5 已知三棱锥 PABC 中，PC底面 ABC，AB=BC ， D、F分别为 AC、PC 的中点， DEAP 于 E （1）求证：AP平面BDE； （2）求证：平面 BDE平面 BDF； （3）若 AEEP=12，求截面 BEF分三棱锥 P
10、ABC 所成两部分的体积比 讲解: (1）PC底面 ABC，BD平面 ABC，PCBD 由 AB=BC ，D 为 AC 的中点，得 BDAC又 PCAC=C ， BD平面 PAC 又 PA平面、PAC，BDPA由已知 DEPA， DEBD=D ，AP平面 BDE （2）由 BD平面 PAC，DE平面 PAC，得 BDDE由 D、F 分别为 AC、PC 的中点，得 DF/AP 由已知， DEAP，DEDF. BDDF=D ，DE平面 BDF 又DE平面 BDE，平面 BDE平面 BDF （3）设点 E和点 A 到平面 PBC 的距离分别为 h1和 h2则 h1h2=EPAP=2 3, . 3 1
11、 23 2 3 1 3 1 2 1 PBC PBF PBCA PBFE ABCP EBFP Sh Sh V V V V 故截面 BEF 分三棱锥 PABC 所成两部分体积的比为12 或 21 值得注意的是 , “截面 BEF分三棱锥 PABC 所成两部分的体积 比”并没有说明先后顺序, 因而最终的比值答案一般应为两个, 希不 要犯这种”会而不全”的错误. 例 6已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，它被过底面中心 O1且 平行于母线 AB 的平面所截，若截面与圆锥侧面的交线是焦参数（焦 点到准线的距离） 为 p 的抛物线 . （1）求圆锥的母线与底面所成的角； （2）求圆锥的全面积 讲解: （1）设
12、圆锥的底面半径为R，母线长为l， 由题意得：Rl2, 即 2 1 cos 1 l R ACO, 所以母线和底面所成的角为.60 0 （2）设截面与圆锥侧面的交线为MON ，其中 O 为截面与 AC 的交点，则 OO1/AB 且 . 2 1 1 ABOO 在截面 MON 内，以 OO1所在有向直线为 y 轴，O 为原点，建立 坐标系，则O 为抛物的顶点，所以抛物线方程为x 2= 2py ，点 N 的坐标为（ R，R） ，代入方程得 R2= 2p（R） ，得 R=2p ，l=2R=4p. 圆锥的全面积为 2222 1248pppRRl. 将立体几何与解析几何相链接, 颇具新意 , 预示了高考命题的
13、新 动向. 类似请思考如下问题 : 一圆柱被一平面所截，截口是一个椭圆已知椭圆的 长 轴 长 为5 ， 短 轴 长 为4 ， 被 截 后 几 何 体 的 最 短 侧 面 母 线长为 1，则该几何体的体积等于 例 7 如图，几何体ABCDE 中，ABC 是正三角形， EA 和 DC 都垂直于平面 ABC，且 EA=AB=2a ， DC=a ，F、G 分别为 EB 和 AB 的中点 . （1）求证： FD平面 ABC； （2）求证： AFBD； (3) 求二面角 BFCG 的正切值 . 讲解: F、G 分别为 EB、AB 的中点， FG= 2 1 EA，又 EA、DC 都垂直于面 ABC, FG=
14、DC ， 四边形 FGCD 为平行四边形， FDGC，又 GC面 ABC， FD面 ABC. （2）AB=EA ，且 F 为 EB中点， AFEB 又 FGEA， EA面 ABC FG面 ABC G 为等边 ABC，AB 边的中点， AGGC. AFGC 又 FDGC，AFFD 由、知 AF面 EBD，又 BD面 EBD，AFBD. （3）由（ 1） 、 （2）知 FGGB，GCGB，GB面 GCF. 过 G 作 GHFC，垂足为 H，连 HB，HBFC. GHB 为二面角 B-FC-G 的平面角 . 易求 3 32 2 3 , 2 3 a a GHBtgaGH. 例 8 如图，正方体ABCD
15、A1B1C1D1的棱长为 1，P、Q分别 是线段AD1和BD上的点，且 D1PPA=DQQB=5 12. (1) 求证PQ平面CDD1C1； (2) 求证PQAD； (3) 求线段 PQ 的长. 讲解: （1）在平面 AD1内，作 PP1AD 与 DD1交于点 P1，在 平面 AC 内，作 QQ1BC 交 CD 于点 Q1，连结 P1Q1. 12 51 QB DQ PA PD , PP1 /QQ 1 . 由四边形 PQQ1P1为平行四边形 , 知 PQP1Q1 而 P1Q1平面 CDD1C1，所以 PQ平面 CDD1C1 （2）AD平面 D1DCC1，ADP1Q1， 又PQP1Q1，ADPQ.
16、 （3）由（1）知 P1Q1/PQ, 12 5 QB DQ CQ DQ 1 1 ，而棱长CD=1. DQ1= 17 5 . 同理可求得 P1D= 17 12 . 在 RtP1DQ1中，应用勾股定理 , 立得 P1Q1= 17 13 17 5 17 12 22 22 1 DQDP. 做为本题的深化 , 笔者提出这样的问题 : P, Q 分别是 BD, 1 AD上的 动点,试求PQ的最小值 , 你能够应用函数方法计算吗? 试试看 . 并与 如下 2002 年全国高考试题做以对照 , 你会得到什么启示 ? 如图，正方形ABCD、ABEF 的边长都是 1,而且平面 ABCD、ABEF 互 相 垂 直。 点M在 AC上 移 动 ， 点 N在 BF 上 移 动， 若 CM=BN=a).20(a （1） 求 MN 的长； （2） 当a为何值时， MN 的长最小； （3） 当 MN 长最小时，求面 MNA 与面 MNB 所成的二面角的大 小。
