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1、初中奥数数论基础巩固练习题 1、(多用于求最小公倍数 ) 2、(a，b) a ，b a ， b 3、a ，b 是(a，b)的倍数， (a ，b)是a ，b 的约数 4、(a，b)是 a+b 和 a-b 的约数，也是 (a ，b)+a ，b 和(a，b)- a ，b 的约数 (4) 求公约数的方法很多，主要推荐：短除法、分解质因数法、辗 转相除法。 例如： 1、( 短除法 )用一个数去除 30、60、75，都能整除，这个数 是多少 ? 解： (30，60，75)=53=15 这个数是 15。 2、(分解质因数法 )求 1001 和 308的公约数是多少 ? 解：1001=71113(这个质分解常
2、用到 ) ， 308=7114 所以公约数是 711=77 在这种方法中，先将数实行质分解，而后取它们“所有共有的质 因数之积”便是公约数。 3、(辗转相除法 )用辗转相除法求 4811 和 1981 的公约数。 解：4811=21981+849， 1981=2849+283 ， 849=3283， (4811，1981)=283。 补充说明：如果要求三个或更多的数的公约数，能够先求其中任 意两个数的公约数，再求这个公约数与另外一个数的公约数，这样求 下去，直至求得最后结果。 (5) 约数个数公式 一个合数的约数个数，等于它的质因数分解式中每个质因数的个 数(即指数) 加 1 的连乘的积。 例
3、如：求 240 的约数的个数。 解：240=243151， 240 的约数的个数是 (4+1) (1+1) (1+1)=20 ， 240 有 20个约数。 四 奇偶性 (1) 奇数和偶数 整数能够分成奇数和偶数两大类. 能被 2 整除的数叫做偶数，不能 被 2 整除的数叫做奇数。 偶数通常能够用2k(k 为整数 )表示，奇数则能够用2k+1(k 为整数 ) 表示。 特别注意，因为 0 能被 2 整除，所以 0 是偶数。 最小的奇数是 1 ，最小的偶数是0 . (2) 奇数与偶数的运算性质 性质 1：偶数偶数 =偶数， 奇数奇数 =偶数。 性质 2：偶数奇数 =奇数。 性质 3：偶数个奇数相加得
4、偶数。 性质 4：奇数个奇数相加得奇数。 性质 5：偶数奇数 =偶数， 奇数奇数 =奇数。 偶数偶数 =偶数 (3) 反证法 例：桌上有 9 只杯子，全部口朝上，每次将其中6 只同时“翻 转”. 请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9 只杯子全 部口朝下。 解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”. 要使 9 只杯 子口全朝下，必须经过9 个奇数之和次“翻转” . 即“翻转”的总次数 为奇数 . 但是，按规定每次翻转6 只杯子，无论经过多少次“翻转”， 翻转的总次数只能是偶数次.所以无论经过多少次“翻转”，都不能使 9 只杯子全部口朝下。 这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法. 先假设某 种说法准确，再利用假设说法和其他性质实行分析推理，最后得到一 个不可能成立的结论，从而说明假设的说法不成立. 这种思考证明的方 法在数学上叫“反证法”。
