超全高中数学数列的综合复习

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1、高中数学數列的综合复习 【本讲主要内容 】 数列基础知识 数列的概念、数列的通项公式、数列的递推公式、数列通项公式与前n 项和公式的关系。 【知识掌握】 【知识点精析】 1. 数列知识有着广泛的应用，而且学习数列对培养和提高观察、分析、 归纳等能力都有重要的作用。 2. 数列基础知识 （1）数列按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都 叫做这个数列的项， 各项依次叫做这个数列的第1 项 （或首项）， 第 2 项， ， 第 n 项，。例如 1，4，7，10 ，13；1， 2，3，4，n，都是 数列，数列的一般形式可以写为 , 321n aaaa，其中 n a是数列的第n 项， 我们常常

2、把上面的数列简记作n a。项数有限的数列叫做有穷数列，如上面 例子中的第 1 个数列；项数无限的数列叫做无穷数列，如上面例子中的第 2 个数列，另外，我们依照数列各项数值大小的变化，可以分成递增数列， 递减数列，摆动数列和常数数列。对数列要从函数的高度深刻理解，数列 是定义域为正整数集或它的有限子集上的函数值列。 （2）数列的通项公式如果一个数列的第n 项n a与项数 n 之间的函数 关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式。例 如，数列 ， 6 5 5 4 4 3 3 2 的通项公式可以为 *)( 2 1 Nn n n an；数列2，5，10 ， 17 ，的通项公式可以为

3、*)(1 2 Nnnan。 一个数列的通项公式的表达式也不一定是唯一的，例如-1 ， 1，-1 ， 1， 的通项公式既可以表示为 *)() 1(Nna n n也可以表示成 )(cosNnnan，还 可以表示成 为偶数时 为奇数时 n, 1 n, 1 an （3）数列的递推公式如果已知数列n a的第 1 项（或前 n 项） ，且任 一项na与它的前一项1na（或前 n 项）间的关系可以用一个公式来表示，那 么这个公式就叫做这个数列的递推公式，递推公式也是给出数列的一种方 法。例如，数列n a满足条件：*)(121 11 Nnaaa nn ，我们由此式可以写出 数列n a的第 2，3，4，项，此式

4、就叫 n a的递推公式；再如，数列 n b满 足 条 件 ： *)(231 1221 Nnbbbbb nnn ， 由 此 我 们 可 以 写 出 11252234123bbbbbb，上面的式子就是数列nb的递推公式。数 列的递推公式不像数列的通项公式那样简单明确地表达了数列中的每一 项，而要利用递推关系一步步地才能得到所需要的各项。但不少情况下， 可以通过一定的数学方法将数列的递推公式转化为数列的通项公式。 （4）数列的前n 项和数列n a中的 n aaa， 21之和叫做数列的前n 项和，记作nn aaaS 21（或 n i ai 1 ） 。 （5）数列前 n 项和n S与数列通项 n a之间

5、的关系：由其各自的意义可知 *)2( ) 1( 1 1 NnnSS nS a nn n ， 这里要注意，当n2 时1nnn SSa所得出的式子，对于n=1 时， 1 a可 能适用， 也可能不适用。 因此由n S求 n a的时候一定要先求出 1a，然后再求 n 2 时的n a，例如，数列 n a的前 n 项和12 n n S，求它的通项 n a。我们令 n=1 ，得 ,312 1 1 S即3 1 a，又当 n 2 时，12 1 1 n n S，所以 11 1 222 nnn nn SS，即 n2 时 1 2 n n a，而此式中令 n=1 ，31 1 a所以， 所求数列的通项公式为 时），（ 时

6、） *22 1(3 1 Nnn n a n n 【解题方法指导】 例 1. 数列n a的前 n 项和 n S是 n 的二次函数形式， 且它的前三项依次是 -1 ，2，9，求该数列的通项公式。 解题思路分析： 本题应先求出前n 项和n S的表达式， 由前三项的值可以 将二次函数的三项系数确定，然后再用n S与通项 n a之间的关系求出 n a。 解：设 *),()( 2 NncbacbnannfSn为常数， 依题意 1)1(cbaf 1039) 3( 124)2( cbaf cbaf 即 1039 124 1 cba cba cba 解得 2 7 a 4 2 17 c b 4 2 17 2 72

7、 nnSn 当 n=1 时 1 11 Sa 当 n2 时1nnn SSa 127 4) 1( 2 17 ) 1( 2 7 4 2 17 2 722 n nnnn 而 1 1 a代入127nan不符合。 该数列通项公式为 *)2(127 ) 1( 1 Nnnn n an ， 注意：由n S求 n a的时候，一定要先确定)( 11 aS， 然后求出 n2 时的 n a后， 要检验一下 n=1 时，是否符合na的式子，若不符合，则通项公式应以分段 函数给出。 例 2. 已知数列n a中， 2 1 1 a， 14 1 2 1 n aa nn，写出这个数列的前五项， 并归纳出它的通项公式。 解：由已知

8、3 1 114 1 12 aa， 6 5 2 a。 ， 15 1 124 1 2 23 aa 10 9 3 a。 , 35 1 134 1 234 aa 14 13 4 a。 , 63 1 144 1 2 45 aa 18 17 5 a。 数列的前五项分别是： . 18 17 14 13 10 9 6 5 2 1 ， 可以归纳出数列通项公式为： . 24 34 n n an 下面进行证明： 方法一、 n2 时， ) 3 1 1 1 ( 2 1 31 1 12 aa ) 12 1 32 1 ( 2 1 )12)(32( 1 ) 7 1 5 1 ( 2 1 75 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1

9、 53 1 1 34 23 nnnn aa aa aa nn 将上式相加： 12 1 12 22 2 1 ) 12 1 1( 2 1 1 n n n n n aan *)( 24 34 2 1 . 24 34 2 1 12 1 2 1 1 1 Nn n n a a n n n n a a n n 也满足此式而 方法二、用数学归纳法证明。 当 n=1 时， 2 1 1 a， 2 1 214 314 ，n=1 时，公式成立。 假设当 n=k （k1）时， 24 34 k k ak。 当 n=k+1时， 14 1 2 1 k aa kk )12(2 14 )12)(12(2 )12)(34(2 24

10、 34 14 1 2 1 k k kk kk k k k ak . 2)1(4 3)1(4 k k n=k+1时，公式也成立。 综上述，数列的通项公式为 *)( 24 34 Nn n n an 评述：本问题中给出的是数列的一个递推公式，因此它可以由前面的项 求后面的项，求出前几项是不难的，但归纳出数列的通项公式有时是很不 容易的，本题是先观察归纳出通项公式，然后给出证明，其中用数学归纳 法证明是常见方法，另外方法一给出的是累加的方法，借助于本数列的特 点，累加后左边只有1 aan，右边又是一个可以裂项相加的数列，因此就使 问题得以证明。 例 3. 已知数列n a的前几项和为 n S，若2 1

11、a，)1( 1 nnSna nn （1）求数列n a的通项公式； （2）令 n n n S T 2 ， 当 n 为何正整数值时，1nnTT； 若对一切正整数n，总有mTn，求 m 的取值范围。 解： （1） )1( 1 nnSna nn n=1 时，4222 a， 当 2n 时， nnSan nn )1()1( 1 得 nSSanna nnnn2)1(11。 naan nn 2)( 1， 即 2 1nn aa（2n） 又212 aa， 数列n a是首项为 2，公差为 2 的等差数列， nnan2) 1(22。 （2）由（ 1）知) 1( 2 )22( nn nn Sn， nn nn T 2 )

12、 1( 若使1nn TT即 1 2 )2)(1( 2 ) 1( nn nnnn ，解得 2n。 即当 n 为大于 2 的正整数时，1nn TT。 由知当 2n时总有 1nn TT，又 321 2 3 1TTT， n TTT为、 32各项中数值最大的项， 2 3 2 Tm，即 m 的取值范围是 2 3 m。 【考点突破】 【考点指要】 数列问题在高考试题中占有不小的份量，从近年各地高考题来看，占 12 分到 19 分左右，尤其2006 年高考试题中，绝大多数的省、市试题占 17 分以上（含 17 分） 。而数列基础知识的题目也经常出现，大多在解答题 中，在综合运用数列知识的过程中，一般有已知数列

13、前n 项和n S的式子求 数列通项公式n a；或由数列的递推关系求其通项等问题。 【典型例题分析】 例 4. 已知数列nx满足,4,3)( 2 1 , 2 ,321 1 21nxxx x xxnnn求此数列的通 项n x。 解题思路分析： 本题给出的是数列的递推关系，因此可以先求出数列前 几项，然后猜想nx的式子，再证明。也可以将已知式变形为212nnnxxx， 令 n=3 ，4列出各式后累加起来， 再去解决。 这里，我们只用后面的方法 来解。 解： 3 1 x 2 1 2 x x 2 3 2 x )3(2 21 nxxx nnn 213 2xxx 324 2xxx 435 2xxx 21 2

14、 nnn xxx 将上面各式相加，得 622 211 xxxx nn 将此式变形为 )2()2(2 1nn xx 2 1 2 2 1n n x x 当 n=2 时， 2 1 23 2 2 3 2 2 1 2 x x ， 12 1 x 数列 2 n x是以 1 为首项， 2 1 为公比的等比数列。 1 ) 2 1 (12 n n x 所求数列的通项 *)() 2 1 (2 1 Nnx n n 评述： 此题是 05 年广东省高考题，经改编而得，原题没有给1 x的值， 而是给 2lim n n x，求 1 x。 例 5. （06 年高考理科全国卷22 题第（ I）问） 设数列n a的前 n 项和。3

15、, 2, 1, 3 2 2 3 1 3 4 1 naS n nn 求首项1 a与通项 n a。 解题思路分析： 求1 a只需把已知式中n=1 代入即可， 求 n a还需令 n2， 然后通过1nn SS而得。 解：令 n=1 ， 3 2 2 3 1 3 4 11 111 aaS，21a n2 时 3 2 2 3 1 3 4 3 2 2 3 1 3 4 1 1 1 n n n nnn aaSS n nn n nnn aa aaa 24 2 3 1 3 4 3 4 1 1 变形此式 )2(42 1 1 n n n n aa 即 4 2 2 1 1 n n n n a a ，又 42 1 a， n n

16、 a2是以 4 为首项， 4 为公比的等比数列。 nnn n a4442 1 ， nn n a24（n=1 ，2，3，） 综上述，首项 2 1a，通项 *)(24Nna nn n 【综合测试】 一、选择题 1. 已知 2006 是数列 6，11，16，21，中的一项，那么它是（） A. 第 399 项B. 第 400 项C. 第 401 项D. 第 402 项 2. 已知 1 1 a，32 1nn aa，则 5 a等于（） A. 21 B. 29 C. 31 D. 17 3. 数列n a前 n 项和 2 nnSn，则当*Nn且 n2 时一定有（） A. nn Snana 1B. 1 nanaS nn C. nn naSna1 D. 1 naSna nn 4. 数列 1，-1 ，1，-1 ，的通项公式在以下四个式子中可以是（） 1 )1( n n a 2 )1(1 1n n a 2 ) 12( sin n an 2 )1( n n a A. B. C. D. 5. 已知函数 为偶数时）当 为奇数时）当