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1、高考填空题的常用方法 数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的 客观性试题， 是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一 般可分为：完形填空题、 多选填空题、 条件与结论开放的填空题. 这 说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会 不断出现 . 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好 应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运 算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整 . 合情 推理、优化思路、 少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要 求. 数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念 (性 质)判断型的试题
2、，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻 辑的推演和判断。求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快” 上下功夫。 常用的方法有直接法、特殊化法、 数行结合法、 等价转 化法等。 一、直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定 义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直 接得到结果。 例 1 设,)1(,3)1(jmibiima其中 i，j 为互相垂直的单位向量， 又)()(baba，则实数 m = 。 解 ：.)2(,)4()2(jmmibajmimba)()(baba， 0)()(baba0)4)(2()4()2()2( 222 jmmjimmmj
3、mm，而 i， j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(mmmm2m。 例 2 已知函数 2 1 )( x ax xf在区间),2(上为增函数，则实数a 的 取值范围是。 解： 2 21 2 1 )( x a a x ax xf，由复合函数的增减性可知， 2 21 )( x a xg 在),2(上为增函数，021a， 2 1 a。 例 3 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13 场足球比赛， 每场比赛有3 种结果：胜、平、负，13 长比赛全部猜中的为特等 奖，仅猜中12 场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概 率为。 解：由题设， 此人猜中某一场的概率为 3 1 ，且猜中
4、每场比赛结果 的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为 13 3 1 。 二、特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个 定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确 结果。 例 4 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c。若 a、 b、c 成等差数列，则 CA CA coscos1 coscos 。 解 ： 特 殊 化 ： 令5, 4,3cba， 则 ABC为 直 角 三 角 形 ， 0cos, 5 3 cosCA，从而所求值为 5 3 。 例 5 过抛物线)0( 2 aaxy的焦点 F 作一直线交抛物线交于P、 Q 两点
5、，若线段 PF、FQ 的长分别为p、q，则 qp 11 。 分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线 均有两个交点P、Q，当 k 变化时 PF、FQ 的长均变化，但从题设 可以得到这样的信息：尽管PF、FQ 不定，但其倒数和应为定值， 所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性。 解： 设 k = 0，因抛物线焦点坐标为), 4 1 , 0( a 把直线方程 a y 4 1 代入 抛物线方程得 a x 2 1 ， a FQPF 2 1 |，从而a qp 4 11 。 例 6 求值 )240(cos)120(coscos 222 aaa。 分析： 题目中“求值”二字提供
6、了这样信息： 答案为一定值， 于是 不妨令0a，得结果为 2 3 。 三、数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数， 则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。 例 7如果不等式xaxx)1(4 2 的解集为 A， 且20|xxA， 那么实数 a 的取值范围是。 解： 根据不等式解集的几何意义，作函数 2 4xxy和 函数xay)1(的图象（如图） ，从图上容易得出 实数 a 的取 值范围是,2a。 例 8求值) 2 1 arctan 3 sin(。 解：) 2 1 arctan 3 sin() 2 1 sin(arctan 2 1 ) 2 1 cos(arctan 2
7、 3 ， 构造如图所示的直角三角形，则其中的角即为 2 1 arctan，从而 . 5 1 ) 2 1 sin(arctan, 5 2 ) 2 1 cos(arctan所以可得结果为 10 1525 。 例9 已 知 实 数x、 y 满 足3)3( 22 yx， 则 1x y 的 最 大 值 是。 解： 1x y 可看作是过点P（x，y）与 M（1，0）的直线的斜率， 其中点 P 的圆3)3( 22 yx上，如图，当直线处于图中切线位置时， 斜率 1x y 最大，最大值为3tan。 四、等价转化法 通过“化复杂为简单、 化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于 解决的问题，从而得出正确的结果。
8、例 10 不等式 2 3 axx的解集为（ 4，b） ，则 a= ， b= 。 解： 设tx，则原不等式可转化为：,0 2 3 2 tat a 0，且 2 与)4(bb是方程0 2 3 2 tat的两根，由此可得：36, 8 1 ba。 例11 不 论k为 何 实 数 ， 直 线1kxy与 曲 线 0422 222 aaaxyx恒有交点，则实数 a 的取值范围是。 解：题设条件等价于点 （0，1）在圆内或圆上， 或等价于点 （0， 1）到圆42)( 22 ayax，31a。 例 12 函数xxy3214单调递减区间为。 解 ： 易 知.0,3 , 4 1 yxy与y2有 相 同 的 单 调 区
9、 间 ， 而 3134411 22 xxy，可得结果为3, 8 13 。 总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法， 是快速准确地解 数学填空题的关键。 五、练习 1 已知函数1xxf，则._3 1 f 讲解由13x，得43 1 xf，应填 4. 请思考为什么不必求 xf 1 呢？ 2集合NxxM x , 2 1 10log1 1的真子集的个数是 ._ 讲解NxxxxM,10010Nx2,lgx1，显然集合M 中有 90 个元素，其真子集的个数是12 90 ，应填12 90 . 快速解答此题需要记住小结论;对于含有n 个元素的有限集合, 其真子集的个数是.12 2 3若函数 baxxaxy, 3
10、2 2 的图象关于直线1x对称，则 ._b 讲解由已知抛物线的对称轴为 2 2a x,得4a，而1 2 ba ， 有6b，故应填 6. 4果函数 2 2 1x x xf，那么 ._ 4 1 4 3 1 3 2 1 21fffffff 讲解容易发现1 1 t ftf， 这就是我们找出的有用的规律， 于是 原式 2 7 31f，应填. 2 7 本题是 2002 年全国高考题， 十分有趣的是， 2003 年上海春 考题中也有一道类似题： 设 22 1 x xf，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的 方法，可求得 ._650f45ffff 5已知点 Pcos,tan在第三象限，则角的终边在第_ 象
11、限 . 讲解由已知得 , 0cos , 0sin ,0cos ,0tan 从而角的终边在第二象限，故应填二. 6不等式120lg cos2x （,0 x）的解集为_. 讲解注意到120lg，于是原不等式可变形为 .0cos0cos2xx 而x0，所以 2 0 x，故应填. 2 0Rxxx， 7如果函数xaxy2cos2sin的图象关于直线 8 x对称，那 么._a 讲解2sin1 2 ay，其中atan. 8 x是已知函数的对称轴， 28 2k， 即Zkk， 4 3 ， 于是.1 4 3 tantanka故应填1. 在解题的过程中，我们用到如下小结论： 函数xAysin和xAycos的图象关于
12、过最值点且垂直于 x 轴的直线分别成轴对称图形. 8设复数 24 cossin2 1 z在复平面上对应向量 1 OZ， 将 1 OZ按顺时针方向旋转 4 3 后得到向量 2 OZ， 2 OZ对应的复数 为sincos 2 irz，则._tan 讲解应用复数乘法的几何意义，得 4 3 sin 4 3 cos 12 izz icossin2cossin2 2 2 ， 于是， 1tan2 1tan2 cossin2 cossin2 tan 故应填. 1tan2 1tan2 9 设 非 零 复 数yx,满 足 0 22 yxyx， 则 代 数 式 20052005 yx y yx x 的值是 _. 讲
13、解将已知方程变形为11 2 y x y x ， 解这个一元二次方程，得 . 2 3 2 1 i y x 显然有 23 1, 1, 而166832005,于是 原式 20052005 2005 1 1 1 2005 2 2005 2 1 .1 1 2 在上述解法中， “两边同除”的手法达到了集中变量的目的， 这是 减少变元的一个上策，值得重视. 10 已知 n a是公差不为零的等差数列，如果 n S是 n a的前 n 项和， 那么 ._ lim n n nS na 讲解特别取 nan，有 2 1nn Sn，于是有 .2 1 1 2 1 2 limlimlim 2 n nn n S na nn n
14、 n n 故应填 2. 11 列 n a中， 是偶数），（ 是奇数， n n a n n n 5 2 5 1 nn aaaS 2212, 则 ._ 2 lim n n S 讲解分类求和，得 ， nnn aaaaaaS 24212312 8 1 5 1 1 5 2 5 1 1 5 1 2 2 2 2 lim n n S，故应填 8 1 12 以下四个命题： ；3122nn n ；122642 2 nnnn 凸 n 边形内角和为；31nnnf 凸 n 边形对角线的条数是.4 2 2 n nn nf 其中满足“假设 0 ,kkNkkn时命题成立， 则当 n=k+1 时命题也成 立 . 但不满足“当
15、0 nn（ 0 n是题中给定的n 的初始值）时命题成立” 的命题序号是. 讲解当 n=3 时，1322 3 ，不等式成立； 当 n=1 时，2112 2 ，但假设 n=k 时等式成立，则 21112212642 2 2 kkkkkk； 133f，但假设1kkf成立，则 ；111kkfkf 2 244 4f，假设 2 2kk kf成立，则 . 2 211 31 kk kkfkf 故应填 . 13某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000 到 999999. 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数 时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比） 为. 讲解中奖号码的排
16、列方法是：奇位数字上排不同的奇数有 3 5 P种方法，偶位数字上排偶数的方法有 3 5，从而中奖号码共有 33 5 5P 种，于是中奖面为 %,75.0%100 1000000 5 33 5 P 故应填%.75.0 14 7 2 21 xx的展开式中 3 x的系数是._ 讲解由 77272 2221xxxxx 知，所求系数应为 7 2x 的 x 项的系数与 3 x 项的系数的和，即有 ，100822 4 4 7 6 6 7 CC 故应填 1008. 15 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个 顶点都在同一球面上，这个球的表面积是_. 讲解长方体的对角线就是外接球的直径R2, 即有 ,5054342 22222 RR 从而504 2 RS球，故应填.50 16若四面体各棱的长是1 或 2，且该四面体不是正四面体， 则其体积是（只需写出一个
