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1、一 寸 光 阴 不 可 轻 1 第四讲：旋转和圆的基础知识 一、旋转 （一） 概念： 1.旋转： 如果一个图形绕某一个定点沿某一个方向转动一个角度,这样的图形运动称为旋转. 这个定点称为旋转中心,转动的角度称为旋转角. 例： （1）旋转中心是什么？旋转角是什么？ （2） 经过旋转， 点 A、 B、 C 分别移动到什么位置？ 来源:学 _科_网Z_X_X_K 2 .中心对称图形：图形绕着中心旋转180 后与自身重合称中心对称图形（如：平行 四 边 形 、 圆 等 ）。 （二） 性质 1旋转的性质：来源:学科网 旋转不改变图形的形状和大小(即旋转前后的两个图形全等). 任意一对对应点与旋转中心的连
2、线所成的角彼此相等(都是旋转角). 经过旋转,对应点到旋转中心的距离相等 2.旋转三要点:旋转中心,方向,角度. 二、圆 （一）.圆的相关概念 1、圆的定义 在一个个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 随之 旋转所形成的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径。 2、圆的几何表示 以点 O 为圆心的圆记作“O” ，读作“圆 O” (二).弦、弧等与圆有关的定义 旋转中心 一 寸 光 阴 不 可 轻 2 E D C B A ADBC （1）弦 连接圆上任意两点的线段叫做弦。 （如图中的 AB） （2）直径 经过圆心的弦叫做直径。 （如途中的 C
3、D） 直径等于半径的 2 倍。 （3）半圆 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。 （4）弧、优弧、劣弧 圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“”表示，以 A，B 为端点的弧记作“” ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB” 。 大于半圆的弧叫做优弧（多用三个字母表示） ；小于半圆的弧叫做劣弧（多用两个字母 表示） 三、垂径定理及其推论 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 推论 1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。 （3）平分弦所对的一条弧的直径垂直平分弦
4、，并且平分弦所对的另一条弧。 推论 2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 垂径定理及其推论可概括为： 过圆心 垂直于弦 直径 平分弦 知二推三 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧 四、圆的对称性 1、圆的轴对称性 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。 2、圆的中心对称性 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 第五讲：圆心角和圆周角 课堂练习： 1如图，弦 AD=BC，E 是 CD 上任一点（C，D 除外） ，则下列结论不一定成立的是（ ） A. = 一 寸 光 阴 不 可 轻 3 CDAB BE O E D C B A O CB A O CB A ABCD O N M DC BA
5、O D C B A B. AB=CD C. AED=CEB. D. = 2. 如图，AB 是 O 的直径，C，D 是 上的三等分点，AOE=60 ，则COE 是 （ ） A 40 B. 60 C. 80 D. 120 3. 如图，AB 是 O 的直径，BC =BD ,A=25， 则BOD= . 4.在O AB =AC , 中, A=40,则C= . 5. 在O 中, AB =AC , ACB=60.求证: AOB = BOC = AOC. 课堂检测 1 如果两个圆心角相等，那么（ ） A这两个圆心角所对的弦相等。 B 这两个圆心角所对的弧相等。 C 这两个圆心角所对的弦的弦心距相等。 D 以上
6、说法都不对 2在同圆中，圆心角AOB=2COD，则 与 的关系是（ ） A AB =2CD B. AB CD C. AB 2CD D. 不能确定 3. 在同圆中，AB = BC ,则（ ） A AB+BC=AC B AB+BCAC C AB+BCAC D. 不能确定 4下列说法正确的是（ ） A等弦所对的圆心角相等 B. 等弦所对的弧相等 C. 等弧所对的圆心角相等 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5如图，在O 中，C、D 是直径上两点，且 AC=BD，MCAB，NDAB，M、N 在O 上。 求证： AM =BN 一 寸 光 阴 不 可 轻 4 O C B A O C B A 2 1 O E
7、D C B A O D C B A O D C B A O C B A 二、圆周角 课堂练习：课堂练习： 1下列说法正确的是（ ） A 相等的圆周角所对弧相等形 B 直径所对的角是直角 C 顶点在圆上的角叫做圆周角 D 如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半， 那么这个三角形是直角三角形。 2如图，ABC 内接于O，若OAB=28，则C 的大小为（ ） A . 28 B. 56 C. 60 D. 62 3.如图,在O 中, ABC=40 ,则AOC= . 4. 如图,AB 是O 的直径,C,D,E 都是圆上的点,则1+2= . 5. 如 图 ,AB是O的直径,BD是O 的 弦 , 延 长BD
8、 到 C,使 AC=AB. 求证:BD=CD. 三、课堂检测三、课堂检测 1. 如 图 ,AB 是 O 的 直 径 , BC,CD,DA 是 O 的 弦 , 且 BC=CD=DA, 则 BCD=( ). A . 100 B. 110 C. 120 D130 2. 如图,O 是ABC 的外接圆,AB 是直径,若BOD=80,则 A=( ) A . 60 B. 50 C. 40 D30 3. 如 图 ,A,B,C是 O上 三 点 , AOC=100 , 则 ABC= . 4. 如图,正方形 ABCD 内接于O,点 E 在劣弧 AD 上, 则BEC 等于 一 寸 光 阴 不 可 轻 5 O C B
9、A O D CB A O E D C B A 5. 如图 , 在 O中, ACB= BDC=60,AC= 32,(1)求BAC 的度数;(2) 求O 的周长. 四小结四小结 1,圆周角与圆心角的概念比较接近,因此容易混淆,要结合图形观察角的 位置进行判断. 2.一条弦所对的 圆周角有两种(直角除外),一种是锐角，一种是钝角。 3有关圆的计算常用勾股定理计算，因此构造直角三角形是解题的关键。 第六讲：圆的知识复习 一、一、圆的基本性质圆的基本性质 1 圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。 2、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）
10、的直径垂直于弦，并且平分弦对的弧。 3、圆具有旋转对称性，特别的圆是中心对称图形，对称中心是圆心。 圆心角定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那 么它们所对应的其余各组量都分别相等。 4、圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。来源:学科网ZXXK 圆周角定理推论：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等。 圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角；的圆周角所对的弦是直径。 例例 1 如图， 在半径为 5cm 的O 中， 圆心 O 到弦 AB 的距离为 3cm， 则弦 AB 的长是 （ ） A4cm B6cm C8cm D10cm 例例 2、如图
11、，A、B、C、D 是O 上的三点，BAC=30，则BOC 的大小是( ) A、60 B、45 C、30 D、15 例例 3、如图 1 和图 2，MN 是O 的直径，弦 AB、CD 相交于 MN 上的一点 P， 一 寸 光 阴 不 可 轻 6 F OE D C BA P B O A C D E D O C A B APM=CPM （1）由以上条件，你认为 AB 和 CD 大小关系是什么，请说明理由 （2）若交点 P 在O 的外部，上述结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请 说明理由 (1) (2) 例 4：如图,AB 是O 的直径，C 是 BD 的中点，CEAB 于 E，BD 交 CE 于
12、点 F。 求证：CF=BF 练习：练习： 1、已知：如图，AB 为O 的直径，弦 CD 交 AB 于 P，且APD60， COB30，求ABD 的度数 2、如图，ABC 中，ABAC，A80，以 AB 为直径的半圆交 AC 于 D，交 BC 于 E求AD DE BE、 、所对圆心角的度数 3、如图，圆的弦 AB、CD 延长线交于 P 点，AD、BC 交于 Q 点，P28， AQC92，求ABC 的度数 4、 已知： 四边形 ABCD 内接于O， 且BOD100 求A 的度数 B A C E D P O N M F B A C E D P N M F Q B D O P A C 一 寸 光 阴
13、不 可 轻 7 第七讲：平面内点和圆的位置关系 一、点和圆的位置关系 平面内点和圆的位置关系有三种：点在圆外、点在圆上、点在圆内 当点在圆外时，dr；反过来，当 dr 时，点在圆外。 当点在圆上时，dr；反过来，当 dr 时，点在圆上。 当点在圆内时，dr；反过来，当 dr 时，点在圆内。 例例 如图，在中，直角边，点，分别是，的 中点，以点为圆心，的长为半径画圆，则点在圆 A 的_，点在圆 A 的 _ 练习练直角坐标平面内，圆的半径为 5，圆心的坐标为试判断点 与圆的位置关系 二二、圆与三角形的关系、圆与三角形的关系 1、三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆。 2、三角形的外心：三角形三边
14、垂直平分线的交点，即三角形外接圆的圆心。 3、三角形的内切圆：与三角形的三边都相切的圆。 4、三角形的内心：三角形三条角平分线的交点，即三角形内切圆的圆心。 例例 1 如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人 们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图 2449 所示，A、B、C为市内的三个住宅小区， 环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请 问如果你是工程师，你将如何选址 RtABC3AB =4BC = EF BCAC AABEF OO( 14) ， (31)P，O B A C 一 寸 光 阴 不 可 轻 8 B A C 例例 2 如图，点 O 是ABC 的内切圆的圆心，若BAC=80， 则BOC=（ ） A130 B100 C50 D65 例例 3 如图， RtABC， C=90， AC=3cm， BC=4cm， 则它的外心与顶点 C 的距离为 （ ） A5 cm B2.5cm C3cm D4cm 练习 1： 1下列说法： 三点确定一个圆；三角形有且只有一个外接圆； 圆有且只有一个内 接三角形；三角形的外心是各边垂直平分线的交点； 三角形的外心到三角形的各边的 距离相等；等腰三角形的外心一定在三角形内。其中正确的个数为（ ） A1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 三角形的外心具有的性质
